Упр.8.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=lg x; 3) y=ln^3 x; 5) y=x^5/ln x;
2) y=ln (5x-4); 4) y=lg cos(x); 6) y=log_2 (x^2+6).

1. $$y=\lg x$$

   Используем формулу $$\left(\lg x\right)’=\frac{1}{x\ln 10}$$. Тогда

   $$y’=\frac{1}{x\ln 10}.$$

2. $$y=\ln(5x-4)$$

   По правилу производной сложной функции:

   $$y’=\frac{(5x-4)’}{5x-4}=\frac{5}{5x-4}.$$

3. $$y=\ln^3 x$$

   Это значит $$y=(\ln x)^3$$. Тогда

   $$y’=3(\ln x)^2\cdot \frac{1}{x}=\frac{3\ln^2 x}{x}.$$

4. $$y=\lg(\cos x)$$

   Применим формулу производной логарифма и правило цепочки:

   $$y’=\frac{(\cos x)’}{\cos x\ln 10}=\frac{-\sin x}{\cos x\ln 10}=-\frac{\tg x}{\ln 10}.$$

5. $$y=\frac{x^5}{\ln x}$$

   Используем правило производной частного:

   $$
   y’=\frac{(x^5)’\ln x-x^5(\ln x)’}{(\ln x)^2}
   =\frac{5x^4\ln x-x^5\cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2}
   =\frac{5x^4\ln x-x^4}{(\ln x)^2}
   =\frac{x^4(5\ln x-1)}{(\ln x)^2}.
   $$

6. $$y=\log_2(x^2+6)$$

   По формуле $$\left(\log_a u\right)’=\frac{u’}{u\ln a}$$ получаем:

   $$y’=\frac{(x^2+6)’}{(x^2+6)\ln 2}=\frac{2x}{(x^2+6)\ln 2}.$$

Ответ

$$1)\ y’=\frac{1}{x\ln 10};\quad 2)\ y’=\frac{5}{5x-4};\quad 3)\ y’=\frac{3\ln^2 x}{x};$$
$$4)\ y’=-\frac{\tg x}{\ln 10};\quad 5)\ y’=\frac{x^4(5\ln x-1)}{(\ln x)^2};\quad 6)\ y’=\frac{2x}{(x^2+6)\ln 2}.$$