Упр.8.28 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 8.28. При каких значениях параметра а функция f(x)=1-2e^x+(1-a)e^(-x)-e^(2x)+(a-1)x является убывающей?

Найдём производную функции:

$$f(x)=1-2e^x+(1-a)e^{-x}-e^{2x}+(a-1)x$$

$$f'(x)=-2e^x-(1-a)e^{-x}-2e^{2x}+(a-1)$$

Чтобы функция была убывающей, нужно, чтобы $$f'(x)\le 0$$ при всех $$x$$.

Преобразуем неравенство:

$$-2e^x-(1-a)e^{-x}-2e^{2x}+(a-1)\le 0$$

$$2e^x+(1-a)e^{-x}+2e^{2x}-(a-1)\ge 0$$

Умножим на $$e^x>0$$:

$$2e^{2x}+(1-a)+(2e^{3x}-(a-1)e^x)\ge 0$$

Сгруппируем удобнее:

$$2e^{2x}(e^x+1)-(a-1)(e^x+1)\ge 0$$

$$ (e^x+1)(2e^{2x}-a+1)\ge 0$$

Так как $$e^x+1>0$$ при всех $$x$$, остаётся:

$$2e^{2x}-a+1\ge 0$$

То есть

$$a-1\le 2e^{2x}$$

Правая часть принимает значения только больше нуля, поэтому неравенство должно выполняться при всех $$x$$. Минимум выражения $$2e^{2x}$$ равен $$0$$ лишь в пределе, значит необходимо и достаточно:

$$a-1\le 0$$

$$a\le 1$$

Ответ

$$a\le 1$$