Упр.8.27 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 8.27. При каких значениях параметра m функция f(x)=2e^x-me^(-x)+(1+2m)x-3 является возрастающей?

Найдём производную функции:

$$f(x)=2e^x-me^{-x}+(1+2m)x-3$$

$$f'(x)=2e^x+me^{-x}+(1+2m)$$

Чтобы функция была возрастающей на всей области определения, достаточно, чтобы

$$f'(x)\ge 0$$

при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

Положим $$t=e^x$$, тогда $$t>0$$ и $$e^{-x}=\frac1t$$. Получаем:

$$2t+\frac{m}{t}+(1+2m)\ge 0$$

Умножим на $$t>0$$:

$$2t^2+(1+2m)t+m\ge 0$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен по $$t$$. Для того чтобы он был неотрицателен при всех $$t>0$$, его дискриминант не должен быть положительным, а старший коэффициент уже положителен:

$$D=(1+2m)^2-8m=1-4m+4m^2=(1-2m)^2$$

Чтобы трёхчлен не менял знак на положительной полуоси, его корни должны быть неположительными. Найдём корни:

$$t_{1,2}=\frac{-(1+2m)\pm |1-2m|}{4}$$

Из этого следует, что оба корня не положительны тогда и только тогда, когда

$$m\ge 0.$$

При $$m\ge 0$$ производная $$f'(x)\ge 0$$ для всех $$x$$, значит функция возрастает.

Ответ

$$m\ge 0$$