Упр.8.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 8.23. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=e^x-x-1 и докажите, что при хєR выполняется неравенство e^x > 1+x.

Найдём производную функции:

$$f(x)=e^x-x-1$$

$$f'(x)=e^x-1$$

Рассмотрим знак производной:

$$f'(x)=0 \iff e^x=1 \iff x=0.$$

Если $$x<0,$$ то $$e^x<1,$$ значит $$f'(x)<0.$$

Если $$x>0,$$ то $$e^x>1,$$ значит $$f'(x)>0.$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$

Докажем неравенство. Так как $$x=0$$ — точка минимума функции $$f(x),$$ то

$$f(x)\ge f(0).$$

Вычислим:

$$f(0)=e^0-0-1=0.$$

Значит,

$$e^x-x-1\ge 0,$$

откуда

$$e^x\ge x+1.$$

При этом равенство достигается при $$x=0,$$ поэтому для всех $$x\in \mathbb{R}$$ выполняется неравенство $$e^x\ge 1+x.$$

Ответ

Функция убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty).$$ Для всех $$x\in\mathbb{R}$$ верно $$e^x\ge 1+x,$$ причём равенство при $$x=0.$$