Упр.8.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) f(x)=x/e^x; 2) f(x)=xe^(-x^2/2); 3) f(x)=log_2(x^2+x).
1) $$f(x)=\dfrac{x}{e^x}$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{e^x-xe^x}{e^{2x}}=\frac{1-x}{e^x}.$$
Так как $$e^x>0$$ при всех $$x,$$ то знак $$f'(x)$$ определяется выражением $$1-x.$$
$$f'(x)>0 \text{ при } x<1,\qquad f'(x)=0 \text{ при } x=1,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty).$$
В точке $$x=1$$ достигается максимум:
$$f_{\max}=f(1)=\frac{1}{e}.$$
Найдём несколько точек:
$$f(0)=0,\qquad f(-1)=-e.$$
Кроме того,
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^x}=0,\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{e^x}=-\infty.$$
Значит, область значений:
$$E(f)=(-\infty;\tfrac{1}{e}].$$
2) $$f(x)=xe^{-x^2/2}$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=e^{-x^2/2}+x\cdot\left(-x\right)e^{-x^2/2}=e^{-x^2/2}(1-x^2).$$
Так как $$e^{-x^2/2}>0,$$ то знак производной определяется выражением $$1-x^2.$$
$$f'(x)>0 \text{ при } -1<x<1,\qquad f'(x)=0 \text{ при } x=\pm1,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>1.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;+\infty),$$ возрастает на $$[-1;1].$$
Найдём экстремумы:
$$f(-1)=-e^{-1/2}=-\frac{1}{\sqrt e},\qquad f(1)=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt e}.$$
Также
$$f(-x)=-xe^{-x^2/2}=-f(x),$$
то есть функция нечётная.
$$f(0)=0,\qquad f(2)=2e^{-2}=\frac{2}{e^2}.$$
Пределы на бесконечности:
$$\lim_{x\to-\infty}xe^{-x^2/2}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}xe^{-x^2/2}=0.$$
Область значений:
$$E(f)=\left[-\frac{1}{\sqrt e};\frac{1}{\sqrt e}\right].$$
3) $$f(x)=\log_2(x^2+x)$$
Для области определения нужно, чтобы аргумент логарифма был положительным:
$$x^2+x>0,$$
$$x(x+1)>0.$$
Отсюда
$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(0;+\infty).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{2x+1}{(x^2+x)\ln 2}.$$
На области определения знаменатель положителен, поэтому знак $$f'(x)$$ определяется числителем $$2x+1.$$
На промежутке $$(-\infty;-1)$$ имеем $$2x+1<0,$$ значит функция убывает.
На промежутке $$ (0;+\infty)$$ имеем $$2x+1>0,$$ значит функция возрастает.
Найдём несколько точек:
$$f(-2)=\log_2(4-2)=\log_2 2=1,$$
$$f(1)=\log_2(1+1)=\log_2 2=1.$$
При $$x\to-1-$$ и $$x\to0+$$ аргумент логарифма стремится к нулю, поэтому
$$f(x)\to-\infty.$$
При $$x\to\pm\infty$$ аргумент $$x^2+x\to+\infty,$$ значит
$$f(x)\to+\infty.$$
Следовательно, область значений:
$$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
Ответ
1) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ возрастает на $$(-\infty;1],$$ убывает на $$[1;+\infty),$$
$$f_{\max}=\frac{1}{e},\quad E(f)=(-\infty;\frac{1}{e}].$$
2) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;+\infty),$$ возрастает на $$[-1;1],$$
$$f_{\min}=-\frac{1}{\sqrt e},\ f_{\max}=\frac{1}{\sqrt e},\quad E(f)=\left[-\frac{1}{\sqrt e};\frac{1}{\sqrt e}\right].$$
3) $$D(f)=(-\infty;-1)\cup(0;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1),$$ возрастает на $$(0;+\infty),$$
$$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
