Упр.8.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) f(x)=xe^x; 3) f(x)=e^(-x^2); 5) f(x)=ln (9-x^2).
2) f(x)=xe^(-x/2); 4) f(x)=x^2-2ln x;
1) $$f(x)=xe^x$$
$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
$$f'(x)=e^x+xe^x=e^x(1+x).$$
Так как $$e^x>0$$ при всех $$x$$, то знак производной определяется выражением $$1+x$$.
$$f'(x)=0 \iff x=-1.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и возрастает на $$[-1;+\infty).$$
Минимум достигается при $$x=-1$$:
$$f_{\min}=f(-1)=-\frac{1}{e}.$$
Найдём несколько значений:
$$f(0)=0,\quad f(1)=e.$$
При $$x\to -\infty$$ имеем $$xe^x\to 0-,$$ а при $$x\to +\infty$$ $$xe^x\to +\infty.$$
$$E(y)=\left[-\frac{1}{e};+\infty\right).$$
2) $$f(x)=xe^{-x/2}$$
$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
$$f'(x)=e^{-x/2}+x\left(-\frac12\right)e^{-x/2}=e^{-x/2}\left(1-\frac{x}{2}\right).$$
Так как $$e^{-x/2}>0$$, то
$$f'(x)=0 \iff x=2.$$
Функция возрастает на $$(-\infty;2]$$ и убывает на $$[2;+\infty).$$
Максимум:
$$f_{\max}=f(2)=2e^{-1}=\frac{2}{e}.$$
Найдём несколько значений:
$$f(0)=0,\quad f(-2)=-2e.$$
При $$x\to +\infty$$ имеем $$xe^{-x/2}\to 0+,$$ а при $$x\to -\infty$$ $$xe^{-x/2}\to -\infty.$$
$$E(y)=\left(-\infty;\frac{2}{e}\right].$$
3) $$f(x)=e^{-x^2}$$
$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
$$f'(x)=-2xe^{-x^2}.$$
Так как $$e^{-x^2}>0$$, то
$$f'(x)=0 \iff x=0.$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$
Максимум:
$$f_{\max}=f(0)=1.$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=e^{-(-x)^2}=e^{-x^2}=f(x).$$
Найдём несколько значений:
$$f(1)=\frac{1}{e},\quad f(2)=\frac{1}{e^4}.$$
При $$x\to \pm\infty$$ имеем $$e^{-x^2}\to 0.$$
$$E(y)=(0;1].$$
4) $$f(x)=x^2-2\ln x$$
Так как логарифм определён только при положительных значениях аргумента, то
$$D(x)=(0;+\infty).$$
$$f'(x)=2x-\frac{2}{x}=\frac{2x^2-2}{x}=\frac{2(x^2-1)}{x}.$$
На области определения $$x>0$$, поэтому знак производной определяется выражением $$x^2-1$$.
$$f'(x)=0 \iff x=1.$$
Функция убывает на $$ (0;1] $$ и возрастает на $$ [1;+\infty). $$
Минимум:
$$f_{\min}=f(1)=1-2\ln 1=1.$$
Найдём несколько значений:
$$f(e)=e^2-2,\quad f(e^2)=e^4-4.$$
При $$x\to 0+$$ имеем $$x^2-2\ln x\to +\infty,$$ а при $$x\to +\infty$$ также $$f(x)\to +\infty.$$
$$E(y)=[1;+\infty).$$
5) $$f(x)=\ln(9-x^2)$$
Для области определения нужно:
$$9-x^2>0.$$
$$x^2<9 \iff -3<x<3.$$
Значит,
$$D(x)=(-3;3).$$
$$f'(x)=\frac{-2x}{9-x^2}.$$
На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем $$-2x$$.
$$f'(x)=0 \iff x=0.$$
Функция возрастает на $$(-3;0]$$ и убывает на $$[0;3).$$
Максимум:
$$f_{\max}=f(0)=\ln 9.$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=\ln(9-(-x)^2)=\ln(9-x^2)=f(x).$$
Найдём несколько значений:
$$f(1)=\ln 8,\quad f(2)=\ln 5.$$
При $$x\to \pm 3$$ изнутри области определения имеем $$9-x^2\to 0+,$$ значит $$f(x)\to -\infty.$$
$$E(y)=(-\infty;\ln 9].$$
Ответ
1) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=\left[-\frac{1}{e};+\infty\right),$$ убывает на $$(-\infty;-1]$$, возрастает на $$[-1;+\infty),$$ минимум при $$x=-1$$: $$-\frac{1}{e}$$.
2) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=\left(-\infty;\frac{2}{e}\right],$$ возрастает на $$(-\infty;2]$$, убывает на $$[2;+\infty),$$ максимум при $$x=2$$: $$\frac{2}{e}$$.
3) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(0;1],$$ возрастает на $$(-\infty;0]$$, убывает на $$[0;+\infty),$$ функция чётная, максимум $$1$$ при $$x=0$$.
4) $$D(x)=(0;+\infty),\ E(y)=[1;+\infty),$$ убывает на $$ (0;1] $$, возрастает на $$ [1;+\infty), $$ минимум $$1$$ при $$x=1$$.
5) $$D(x)=(-3;3),\ E(y)=(-\infty;\ln 9],$$ возрастает на $$(-3;0]$$, убывает на $$[0;3),$$ функция чётная, максимум $$\ln 9$$ при $$x=0$$.
