Упр.8.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=(x-1)e^(-x) на промежутке [1; 3];
2) f(x)=5^(x^2+2x) на промежутке [-2; 1].

1. $$f(x)=(x-1)e^{-x}, \quad x\in[1;3].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=1\cdot e^{-x}+(x-1)(-e^{-x})=e^{-x}-(x-1)e^{-x}=e^{-x}(2-x).$$

   Так как $$e^{-x}>0$$ при любых $$x$$, то знак производной определяется множителем $$2-x$$:

   $$f'(x)\ge 0 \iff x\le 2.$$

   Значит, на отрезке $$[1;3]$$ функция возрастает на $$[1;2]$$ и убывает на $$[2;3]$$. Следовательно, наибольшее значение достигается в точке $$x=2$$, а наименьшее — на концах отрезка.

   Вычислим значения функции:

   $$f(1)=(1-1)e^{-1}=0,$$

   $$f(2)=(2-1)e^{-2}=\frac{1}{e^2},$$

   $$f(3)=(3-1)e^{-3}=\frac{2}{e^3}.$$

   Сравнивая полученные значения, получаем:

   $$f_{\max}=\frac{1}{e^2}, \qquad f_{\min}=0.$$

2. $$f(x)=5^{x^2+2x}, \quad x\in[-2;1].$$

   Так как основание $$5>1$$, функция $$5^t$$ возрастает, поэтому достаточно найти наибольшее и наименьшее значения показателя:

   $$x^2+2x=(x+1)^2-1.$$

   На отрезке $$[-2;1]$$ выражение $$ (x+1)^2 $$ принимает наименьшее значение при $$x=-1$$, значит

   $$x^2+2x \ge -1.$$

   На концах отрезка:

   $$(-2)^2+2\cdot(-2)=0,$$

   $$1^2+2\cdot1=3.$$

   Следовательно, наименьшее значение функции равно

   $$f(-1)=5^{-1}=\frac{1}{5},$$

   а наибольшее —

   $$f(1)=5^3=125.$$

Ответ

1) $$\frac{1}{e^2};\ 0.$$

2) $$125;\ \frac{1}{5}.$$