Упр.8.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=e^(-2x); 4) y=(x+1)/e^x; 7) y=10^(-x);
2) y=x^6 e^x; 5) y=6^x; 8) y=(5^x+2)/(5^x-1);
3) y=e^x cos(x); 6) y=3^(4x+1); 9) y=0,7^ctg(x).

1. $$y=e^{-2x}$$

   По правилу производной сложной функции:

   $$y’=-2e^{-2x}$$

2. $$y=x^6e^x$$

   Используем правило производной произведения:

   $$y’=(x^6)’e^x+x^6(e^x)’$$

   $$y’=6x^5e^x+x^6e^x=x^5e^x(6+x)$$

3. $$y=e^x\cos x$$

   Тогда

   $$y’=(e^x)’\cos x+e^x(\cos x)’$$

   $$y’=e^x\cos x-e^x\sin x=e^x(\cos x-\sin x)$$

4. $$y=\frac{x+1}{e^x}$$

   Представим как произведение:

   $$y=(x+1)e^{-x}$$

   Тогда

   $$y’=1\cdot e^{-x}+(x+1)(-e^{-x})$$

   $$y’=\frac{e^x-(x+1)e^x}{e^{2x}}=-\frac{xe^x}{e^{2x}}=-\frac{x}{e^x}$$

5. $$y=6^x$$

   По формуле производной показательной функции:

   $$y’=6^x\ln 6$$

6. $$y=3^{4x+1}$$

   По правилу производной сложной функции:

   $$y’=3^{4x+1}\ln 3\cdot 4$$

   $$y’=4\cdot 3^{4x+1}\ln 3$$

7. $$y=10^{-x}$$

   Тогда

   $$y’=10^{-x}\ln 10\cdot(-1)=-10^{-x}\ln 10$$

8. $$y=\frac{5^x+2}{5^x-1}$$

   Применим правило производной частного:

   $$y’=\frac{(5^x)'(5^x-1)-(5^x+2)(5^x)’}{(5^x-1)^2}$$

   $$y’=\frac{5^x\ln 5\,(5^x-1)-5^x\ln 5\,(5^x+2)}{(5^x-1)^2}$$

   $$y’=\frac{5^x\ln 5\bigl((5^x-1)-(5^x+2)\bigr)}{(5^x-1)^2}$$

   $$y’=-\frac{3\cdot 5^x\ln 5}{(5^x-1)^2}$$

9. $$y=0{,}7^{\ctg x}$$

   Используем формулу производной показательной функции со сложным показателем:

   $$y’=0{,}7^{\ctg x}\ln 0{,}7\cdot(\ctg x)’$$

   Так как $$ (\ctg x)’=-\frac{1}{\sin^2 x}, $$ то

   $$y’=-\frac{0{,}7^{\ctg x}\ln 0{,}7}{\sin^2 x}$$

Ответ

1) $$y’=-2e^{-2x}$$;
2) $$y’=x^5e^x(6+x)$$;
3) $$y’=e^x(\cos x-\sin x)$$;
4) $$y’=-\frac{x}{e^x}$$;
5) $$y’=6^x\ln 6$$;
6) $$y’=4\cdot 3^{4x+1}\ln 3$$;
7) $$y’=-10^{-x}\ln 10$$;
8) $$y’=-\frac{3\cdot 5^x\ln 5}{(5^x-1)^2}$$;
9) $$y’=-\frac{0{,}7^{\ctg x}\ln 0{,}7}{\sin^2 x}$$.