Упр.8.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=e^x+x на промежутке [-1; 1];
2) f(x)=x^2 e^(2x) на промежутке [-2; 1];
3) f(x)=7^(x^2-2x) на промежутке [0; 2];
4) f(x)=2^x+2^(-x) на промежутке [-1; 1].

Подробный ответ

$$f(x)=e^x+x,\quad x\in[-1;1]$$
$$f'(x)=e^x+1>0$$
Следовательно, функция возрастает на всём промежутке $$[-1;1]$$. Значит, наименьшее значение достигается при $$x=-1$$, а наибольшее — при $$x=1$$:
$$f(-1)=e^{-1}-1=\frac{1}{e}-1$$
$$f(1)=e+1$$
$$f(x)=x^2e^{2x},\quad x\in[-2;1]$$
$$f'(x)=2xe^{2x}+x^2\cdot 2e^{2x}=2xe^{2x}(1+x)$$
Так как $$e^{2x}>0$$, то знак производной определяется выражением $$x(1+x)$$. Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=0$$.
Найдём значения функции в концах промежутка и в критических точках:
$$f(-2)=(-2)^2e^{-4}=\frac{4}{e^4}$$
$$f(-1)=(-1)^2e^{-2}=\frac{1}{e^2}$$
$$f(0)=0$$
$$f(1)=e^2$$
Наибольшее значение равно $$e^2$$, наименьшее — $$0$$.
$$f(x)=7^{x^2-2x},\quad x\in[0;2]$$
$$x^2-2x=(x-1)^2-1$$
Поскольку основание $$7>1$$, функция возрастает по показателю степени. На промежутке $$[0;2]$$ выражение $$x^2-2x$$ принимает наименьшее значение при $$x=1$$, а наибольшее — при $$x=0$$ и $$x=2$$:
$$f(0)=7^0=1$$
$$f(1)=7^{-1}=\frac{1}{7}$$
$$f(2)=7^0=1$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$1$$, наименьшее — $$\frac{1}{7}$$.
$$f(x)=2^x+2^{-x},\quad x\in[-1;1]$$
$$f'(x)=2^x\ln 2-2^{-x}\ln 2=\ln 2\,(2^x-2^{-x})$$
$$f'(x)=0 \iff 2^x=2^{-x} \iff 2^{2x}=1 \iff x=0$$
Проверим значения функции в точках $$x=-1,0,1$$:
$$f(-1)=2^{-1}+2^1=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$$
$$f(0)=1+1=2$$
$$f(1)=2+ \frac{1}{2}=\frac{5}{2}$$
Значит, наибольшее значение равно $$\frac{5}{2}$$, наименьшее — $$2$$.