Упр.8.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=xe^(x/2); 7) f(x)=0,5x^2-ln x;
2) f(x)=e^(x^4-2x^2); 8) f(x)=xln^2 x;
3) f(x)=5^(-x^3+3x+1); 9) f(x)=ln x/x;
4) f(x)=(4x-1)e^(2x); 10) f(x)=ln x^2+2/x;
5) f(x)=x^3·3^(-x); 11) f(x)=ln^3 x-12ln x;
6) f(x)=(x+3)/e^x; 12) f(x)=lg^4 x-2lg^2 x.

1. $$f(x)=xe^{x/2}$$

   $$f'(x)=e^{x/2}+x\cdot \frac12 e^{x/2}=e^{x/2}\left(1+\frac{x}{2}\right)$$

   Так как $$e^{x/2}>0$$ при всех $$x$$, то знак производной определяется выражением $$1+\frac{x}{2}$$.

   $$1+\frac{x}{2}\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x\ge -2$$

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-2]$$ и возрастает на $$[-2;+\infty)$$.

   В точке $$x=-2$$ достигается минимум.

2. $$f(x)=e^{x^4-2x^2}$$

   $$f'(x)=(4x^3-4x)e^{x^4-2x^2}=4x(x^2-1)e^{x^4-2x^2}=4x(x-1)(x+1)e^{x^4-2x^2}$$

   Так как $$e^{x^4-2x^2}>0$$, исследуем знак $$4x(x-1)(x+1)$$.

   Критические точки: $$x=-1,\,0,\,1$$.

   Знаки производной:

   $$(-\infty;-1)\;-\,,\quad (-1;0)\;+\,,\quad (0;1)\;-\,,\quad (1;+\infty)\;+$$

   Значит, функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1]$$, возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[1;+\infty)$$.

   Минимумы при $$x=-1$$ и $$x=1$$, максимум при $$x=0$$.

3. $$f(x)=5^{-x^3+3x+1}$$

   $$f'(x)=(-3x^2+3)\cdot 5^{-x^3+3x+1}\ln 5$$

   Так как $$5^{-x^3+3x+1}\ln 5>0$$, то

   $$f'(x)\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; -3x^2+3\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x^2\le 1$$

   Следовательно, функция возрастает на $$[-1;1]$$ и убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;+\infty)$$.

   Минимумы при $$x=-1$$, максимум при $$x=1$$.

4. $$f(x)=(4x-1)e^{2x}$$

   $$f'(x)=4e^{2x}+(4x-1)\cdot 2e^{2x}=2e^{2x}(4x+1)$$

   Так как $$2e^{2x}>0$$, то

   $$f'(x)\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; 4x+1\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x\ge -\frac14$$

   Функция убывает на $$(-\infty;-\frac14]$$ и возрастает на $$[-\frac14;+\infty)$$.

   В точке $$x=-\frac14$$ — минимум.

5. $$f(x)=x^3\cdot 3^{-x}$$

   $$f'(x)=3x^2\cdot 3^{-x}-x^3\cdot 3^{-x}\ln 3=x^2\cdot 3^{-x}(3-x\ln 3)$$

   Так как $$x^2\cdot 3^{-x}\ge 0$$, знак производной определяется выражением $$3-x\ln 3$$.

   $$3-x\ln 3\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x\le \frac{3}{\ln 3}$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;\frac{3}{\ln 3}]$$ и убывает на $$[\frac{3}{\ln 3};+\infty)$$.

   В точке $$x=\frac{3}{\ln 3}$$ — максимум.

6. $$f(x)=\frac{x+3}{e^x}=(x+3)e^{-x}$$

   $$f'(x)=e^{-x}-(x+3)e^{-x}=-(x+2)e^{-x}$$

   Так как $$e^{-x}>0$$, то

   $$f'(x)\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; -(x+2)\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x\le -2$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;-2]$$ и убывает на $$[-2;+\infty)$$.

   В точке $$x=-2$$ — максимум.

7. $$f(x)=0{,}5x^2-\ln x,\qquad x>0$$

   $$f'(x)=x-\frac1x=\frac{x^2-1}{x}=\frac{(x-1)(x+1)}{x}$$

   При $$x>0$$ знак производной определяется числителем $$x^2-1$$.

   $$f'(x)\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x\ge 1$$

   Следовательно, функция убывает на $$ (0;1] $$ и возрастает на $$ [1;+\infty) $$.

   В точке $$x=1$$ — минимум.

8. $$f(x)=x\ln^2 x,\qquad x>0$$

   $$f'(x)=\ln^2 x+2\ln x=\ln x(\ln x+2)$$

   $$f'(x)\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; \ln x\le -2 \;\text{ или }\; \ln x\ge 0$$

   $$0<x\le \frac1{e^2}\quad \text{или}\quad x\ge 1$$

   Значит, функция возрастает на $$\left(0;\frac1{e^2}\right]$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$\left[\frac1{e^2};1\right]$$.

   В точке $$x=\frac1{e^2}$$ — максимум, в точке $$x=1$$ — минимум.

9. $$f(x)=\frac{\ln x}{x},\qquad x>0$$

   $$f'(x)=\frac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$$

   Так как $$x^2>0$$, то

   $$f'(x)\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; 1-\ln x\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x\le e$$

   Функция возрастает на $$ (0;e] $$ и убывает на $$ [e;+\infty) $$.

   В точке $$x=e$$ — максимум.

10. $$f(x)=\ln x^2+\frac{2}{x},\qquad x\ne 0$$

    $$f'(x)=\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}=\frac{2x-2}{x^2}$$

    Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, то

    $$f'(x)\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; 2x-2\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x\ge 1$$

    Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$ (0;1] $$, возрастает на $$[1;+\infty)$$.

    В точке $$x=1$$ — минимум.

11. $$f(x)=\ln^3 x-12\ln x,\qquad x>0$$

    $$f'(x)=3\ln^2 x\cdot \frac1x-12\cdot \frac1x=\frac{3(\ln^2 x-4)}{x}=\frac{3(\ln x-2)(\ln x+2)}{x}$$

    Так как $$x>0$$, знак производной определяется выражением $$\ln^2 x-4$$.

    $$f'(x)\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; \ln x\le -2 \;\text{ или }\; \ln x\ge 2$$

    $$0<x\le \frac1{e^2}\quad \text{или}\quad x\ge e^2$$

    Значит, функция возрастает на $$\left(0;\frac1{e^2}\right]$$ и $$[e^2;+\infty)$$, убывает на $$\left[\frac1{e^2};e^2\right]$$.

    В точке $$x=\frac1{e^2}$$ — максимум, в точке $$x=e^2$$ — минимум.

12. $$f(x)=\lg^4 x-2\lg^2 x,\qquad x>0$$

    $$f'(x)=4\lg^3 x\cdot \frac1{x\ln 10}-2\cdot 2\lg x\cdot \frac1{x\ln 10}$$

    Множитель $$\frac{1}{x\ln 10}>0$$, поэтому знак производной определяется выражением

    $$4\lg^3 x-4\lg x=4\lg x(\lg^2 x-1)=4\lg x(\lg x-1)(\lg x+1)$$

    Критические точки: $$x=0{,}1,\;1,\;10$$.

    Знаки производной:

    $$ (0;0{,}1)\;-\,,\quad (0{,}1;1)\;+\,,\quad (1;10)\;-\,,\quad (10;+\infty)\;+ $$

    Следовательно, функция убывает на $$ (0;0{,}1] $$ и $$ [1;10] $$, возрастает на $$ [0{,}1;1] $$ и $$ [10;+\infty) $$.

    В точке $$x=0{,}1$$ — минимум, в точке $$x=1$$ — максимум, в точке $$x=10$$ — минимум.

Ответ

1. Возрастает на $$[-2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-2]$$; $$x_{\min}=-2$$.
2. Возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1]$$; $$x_{\min}=-1,\,1$$, $$x_{\max}=0$$.
3. Возрастает на $$[-1;1]$$, убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;+\infty)$$; $$x_{\min}=-1$$, $$x_{\max}=1$$.
4. Возрастает на $$\left[-\frac14;+\infty\right)$$, убывает на $$\left(-\infty;-\frac14\right]$$; $$x_{\min}=-\frac14$$.
5. Возрастает на $$\left(-\infty;\frac{3}{\ln 3}\right]$$, убывает на $$\left[\frac{3}{\ln 3};+\infty\right)$$; $$x_{\max}=\frac{3}{\ln 3}$$.
6. Возрастает на $$(-\infty;-2]$$, убывает на $$[-2;+\infty)$$; $$x_{\max}=-2$$.
7. Возрастает на $$[1;+\infty)$$, убывает на $$(0;1]$$; $$x_{\min}=1$$.
8. Возрастает на $$\left(0;\frac1{e^2}\right]$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$\left[\frac1{e^2};1\right]$$; $$x_{\max}=\frac1{e^2},\; x_{\min}=1$$.
9. Возрастает на $$(0;e]$$, убывает на $$[e;+\infty)$$; $$x_{\max}=e$$.
10. Возрастает на $$[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$(0;1]$$; $$x_{\min}=1$$.
11. Возрастает на $$\left(0;\frac1{e^2}\right]$$ и $$[e^2;+\infty)$$, убывает на $$\left[\frac1{e^2};e^2\right]$$; $$x_{\max}=\frac1{e^2},\; x_{\min}=e^2$$.
12. Возрастает на $$[0{,}1;1]$$ и $$[10;+\infty)$$, убывает на $$(0;0{,}1]$$ и $$[1;10]$$; $$x_{\min}=0{,}1,\; x_{\max}=1,\; x_{\min}=10$$.