Упр.8.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=e^x-x; 10) f(x)=x^3 ln x;
2) f(x)=x e^(2x); 11) f(x)=ln x-x;
3) f(x)=(1-x)e^(x+1); 12) f(x)=x^2 ln x;
4) f(x)=x^2·2^(-x); 13) f(x)=ln x+1/x;
5) f(x)=4xe^(2-x); 14) f(x)=x/ln x;
6) f(x)=e^x^2; 15) f(x)=ln x/vx;
7) f(x)=e^(4x-x^2+1); 16) f(x)=x^2-ln x^2;
8) f(x)=e^x/(x-2); 17) f(x)=2ln^3 x-3ln^2 x;
9) f(x)=4x/e^x; 18) f(x)=lg^2 x-lg x.

1. $$f(x)=e^x-x$$

   $$f'(x)=e^x-1$$

   $$f'(x)=0 \iff e^x=1 \iff x=0.$$

   При $$x<0$$ имеем $$e^x<1,$$ значит $$f'(x)<0.$$ При $$x>0$$ имеем $$e^x>1,$$ значит $$f'(x)>0.$$

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$ В точке $$x=0$$ — минимум.

2. $$f(x)=xe^{2x}$$

   $$f'(x)=e^{2x}+2xe^{2x}=e^{2x}(1+2x).$$

   Так как $$e^{2x}>0,$$ то знак производной определяется выражением $$1+2x.$$

   $$f'(x)=0 \iff 1+2x=0 \iff x=-\frac12.$$

   Функция убывает на $$(-\infty;-\frac12]$$ и возрастает на $$[-\frac12;+\infty).$$ В точке $$x=-\frac12$$ — минимум.

3. $$f(x)=(1-x)e^{x+1}$$

   $$f'(x)=-e^{x+1}+(1-x)e^{x+1}=-xe^{x+1}.$$

   Так как $$e^{x+1}>0,$$ то $$f'(x)>0$$ при $$x<0$$ и $$f'(x)<0$$ при $$x>0.$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$ В точке $$x=0$$ — максимум.

4. $$f(x)=x^2\cdot 2^{-x}$$

   $$f'(x)=2x\cdot 2^{-x}-x^2\cdot 2^{-x}\ln 2=2^{-x}x(2-x\ln 2).$$

   Критические точки: $$x=0$$ и $$x=\frac{2}{\ln 2}.$$

   Знак производной: $$f'(x)>0$$ на $$\left[0;\frac{2}{\ln 2}\right],$$ а $$f'(x)<0$$ на $$(-\infty;0] \cup \left[\frac{2}{\ln 2};+\infty\right).$$

   Значит, функция возрастает на $$\left[0;\frac{2}{\ln 2}\right]$$ и убывает на $$(-\infty;0] \cup \left[\frac{2}{\ln 2};+\infty\right).$$

   В точке $$x=0$$ — минимум, в точке $$x=\frac{2}{\ln 2}$$ — максимум.

5. $$f(x)=4xe^{2-x}$$

   $$f'(x)=4e^{2-x}-4xe^{2-x}=4e^{2-x}(1-x).$$

   $$f'(x)=0 \iff x=1.$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty).$$ В точке $$x=1$$ — максимум.

6. $$f(x)=e^{x^2}$$

   $$f'(x)=2xe^{x^2}.$$

   Так как $$e^{x^2}>0,$$ то $$f'(x)<0$$ при $$x<0$$ и $$f'(x)>0$$ при $$x>0.$$

   Функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$ В точке $$x=0$$ — минимум.

7. $$f(x)=e^{4x-x^2+1}$$

   $$f'(x)=(4-2x)e^{4x-x^2+1}=2(2-x)e^{4x-x^2+1}.$$

   Так как $$e^{4x-x^2+1}>0,$$ то $$f'(x)>0$$ при $$x<2$$ и $$f'(x)<0$$ при $$x>2.$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;2]$$ и убывает на $$[2;+\infty).$$ В точке $$x=2$$ — максимум.

8. $$f(x)=\frac{e^x}{x-2}$$, $$x\ne 2.$$

   $$f'(x)=\frac{e^x(x-2)-e^x}{(x-2)^2}=\frac{e^x(x-3)}{(x-2)^2}.$$

   Так как $$e^x>0$$ и $$ (x-2)^2>0,$$ знак производной определяется выражением $$x-3.$$

   Функция убывает на $$(-\infty;2)\cup(2;3]$$ и возрастает на $$[3;+\infty).$$ В точке $$x=3$$ — минимум.

9. $$f(x)=\frac{4x}{e^x}$$

   $$f'(x)=\frac{4e^x-4xe^x}{e^{2x}}=\frac{4e^x(1-x)}{e^{2x}}.$$

   Так как $$e^x>0,$$ то $$f'(x)>0$$ при $$x<1$$ и $$f'(x)<0$$ при $$x>1.$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty).$$ В точке $$x=1$$ — максимум.

10. $$f(x)=x^3\ln x,$$ $$x>0.$$

    $$f'(x)=3x^2\ln x+x^3\cdot\frac1x=x^2(3\ln x+1).$$

    $$f'(x)=0 \iff 3\ln x+1=0 \iff x=e^{-1/3}.$$

    При $$0<x<e^{-1/3}$$ имеем $$f'(x)<0,$$ при $$x>e^{-1/3}$$ — $$f'(x)>0.$$

    Функция убывает на $$\left(0;e^{-1/3}\right]$$ и возрастает на $$\left[e^{-1/3};+\infty\right).$$ В точке $$x=e^{-1/3}$$ — минимум.

11. $$f(x)=\ln x-x,$$ $$x>0.$$

    $$f'(x)=\frac1x-1=\frac{1-x}{x}.$$

    $$f'(x)=0 \iff x=1.$$

    Функция возрастает на $$\left(0;1\right]$$ и убывает на $$\left[1;+\infty\right).$$ В точке $$x=1$$ — максимум.

12. $$f(x)=x^2\lg x,$$ $$x>0.$$

    $$f'(x)=2x\lg x+x^2\cdot\frac1{x\ln 10}=x\left(2\lg x+\frac1{\ln 10}\right).$$

    $$f'(x)=0 \iff 2\lg x+\frac1{\ln 10}=0 \iff \lg x=-\frac12 \iff x=e^{-1/2}.$$

    Функция убывает на $$\left(0;e^{-1/2}\right]$$ и возрастает на $$\left[e^{-1/2};+\infty\right).$$ В точке $$x=e^{-1/2}$$ — минимум.

13. $$f(x)=\ln x+\frac1x,$$ $$x>0.$$

    $$f'(x)=\frac1x-\frac1{x^2}=\frac{x-1}{x^2}.$$

    $$f'(x)=0 \iff x=1.$$

    Функция убывает на $$\left(0;1\right]$$ и возрастает на $$\left[1;+\infty\right).$$ В точке $$x=1$$ — минимум.

14. $$f(x)=\frac{x}{\ln x},$$ $$x>0,\ x\ne 1.$$

    $$f'(x)=\frac{\ln x-1}{\ln^2 x}.$$

    Так как $$\ln^2 x>0,$$ то знак производной определяется выражением $$\ln x-1.$$

    $$f'(x)=0 \iff \ln x=1 \iff x=e.$$

    Функция убывает на $$\left(0;1\right)\cup(1;e]$$ и возрастает на $$[e;+\infty).$$ В точке $$x=e$$ — минимум.

15. $$f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}},$$ $$x>0.$$

    $$f'(x)=\frac{\frac1x\sqrt{x}-\ln x\cdot\frac1{2\sqrt{x}}}{x}.$$

    После упрощения получаем

    $$f'(x)=\frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}.$$

    Так как знаменатель положителен, то $$f'(x)>0$$ при $$x<e^2$$ и $$f'(x)<0$$ при $$x>e^2.$$

    Функция возрастает на $$\left(0;e^2\right]$$ и убывает на $$\left[e^2;+\infty\right).$$ В точке $$x=e^2$$ — максимум.

16. $$f(x)=x^2-\ln x^2,$$ $$x\ne 0.$$

    $$f'(x)=2x-\frac{2}{x}=\frac{2(x^2-1)}{x}.$$

    Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=1.$$

    Функция возрастает на $$[-1;0)\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup(0;1].$$

    В точках $$x=-1$$ и $$x=1$$ — минимумы.

17. $$f(x)=2\ln^3 x-3\ln^2 x,$$ $$x>0.$$

    $$f'(x)=6\ln^2 x\cdot\frac1x-6\ln x\cdot\frac1x=\frac{6}{x}\ln x(\ln x-1).$$

    Критические точки: $$x=1$$ и $$x=e.$$

    Функция возрастает на $$\left(0;1\right]\cup[e;+\infty)$$ и убывает на $$[1;e].$$

    В точке $$x=1$$ — максимум, в точке $$x=e$$ — минимум.

18. $$f(x)=\lg^2 x-\lg x,$$ $$x>0.$$

    $$f'(x)=2\lg x\cdot\frac1{x\ln 10}-\frac1{x\ln 10}=\frac{2\lg x-1}{x\ln 10}.$$

    Так как $$x\ln 10>0,$$ то знак производной определяется выражением $$2\lg x-1.$$

    $$f'(x)=0 \iff \lg x=\frac12 \iff x=\sqrt{10}.$$

    Функция убывает на $$\left(0;\sqrt{10}\right]$$ и возрастает на $$\left[\sqrt{10};+\infty\right).$$ В точке $$x=\sqrt{10}$$ — минимум.