Упр.8.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=e^(6-7x), если эта касательная параллельна прямой y=5-7x;
2) f(x)=e^x-e^(-x), если эта касательная параллельна прямой y=2x-3;
3) f(x)=6x-ln x, если эта касательная параллельна прямой y=x;
4) f(x)=ln (1-x), если эта касательная параллельна прямой y=1-х.

Подробный ответ

Для функции $$f(x)=e^{6-7x}$$ производная равна
$$f'(x)=-7e^{6-7x}.$$
Касательная параллельна прямой $$y=5-7x,$$ значит, её угловой коэффициент равен $$-7.$$ Тогда
$$-7e^{6-7x}=-7,$$
$$e^{6-7x}=1,$$
$$6-7x=0,$$
$$x=\frac67.$$
Найдём ординату точки касания:
$$f\!\left(\frac67\right)=e^{6-7\cdot \frac67}=e^0=1.$$
Уравнение касательной:
$$y-1=-7\left(x-\frac67\right),$$
$$y=7-7x.$$
Для функции $$f(x)=e^x-e^{-x}$$ имеем
$$f'(x)=e^x+e^{-x}.$$
Так как касательная параллельна прямой $$y=2x-3,$$ то её наклон равен $$2.$$ Следовательно,
$$e^x+e^{-x}=2.$$
Положим $$t=e^x>0.$$ Тогда
$$t+\frac1t=2,$$
$$t^2-2t+1=0,$$
$$\left(t-1\right)^2=0,$$
$$t=1,$$
откуда $$x=0.$$
$$f(0)=e^0-e^0=0.$$
Уравнение касательной:
$$y-0=2(x-0),$$
$$y=2x.$$
Для функции $$f(x)=6x-\ln x$$ область определения: $$x>0.$$
Производная:
$$f'(x)=6-\frac1x.$$
Касательная параллельна прямой $$y=x,$$ значит, её угловой коэффициент равен $$1.$$ Тогда
$$6-\frac1x=1,$$
$$\frac1x=5,$$
$$x=\frac15.$$
Найдём значение функции в этой точке:
$$f\!\left(\frac15\right)=6\cdot \frac15-\ln \frac15=\frac65+\ln 5.$$
Уравнение касательной:
$$y-\left(\frac65+\ln 5\right)=1\left(x-\frac15\right),$$
$$y=x+1+\ln 5.$$
Для функции $$f(x)=\ln(1-x)$$ область определения: $$x<1.$$
Производная:
$$f'(x)=-\frac1{1-x}.$$
Касательная параллельна прямой $$y=1-x,$$ значит, её угловой коэффициент равен $$-1.$$ Тогда
$$-\frac1{1-x}=-1,$$
$$\frac1{1-x}=1,$$
$$1-x=1,$$
$$x=0.$$
$$f(0)=\ln 1=0.$$
Уравнение касательной:
$$y-0=-1(x-0),$$
$$y=-x.$$