Упр.8.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=e^x, если эта касательная параллельна прямой y=ex-6;
2) f(x)=e^(5x+2), если эта касательная параллельна прямой y=5x+7;
3) f(x)=e^(-2x), если эта касательная параллельна прямой y=-x;
4) f(x)=ln (3x-2), если эта касательная параллельна прямой y=3x-2.

1. Для функции $$f(x)=e^x$$ производная равна $$f'(x)=e^x.$$

   Так как касательная параллельна прямой $$y=ex-6,$$ её угловой коэффициент равен $$e.$$ Значит,

   $$e^x=e \Rightarrow x=1.$$

   Точка касания: $$\bigl(1,\,f(1)\bigr)=\bigl(1,\,e\bigr).$$

   Уравнение касательной:

   $$y-e=e(x-1),$$

   откуда

   $$y=ex.$$

2. Для функции $$f(x)=e^{5x+2}$$ имеем

   $$f'(x)=5e^{5x+2}.$$

   Касательная параллельна прямой $$y=5x+7,$$ значит её наклон равен $$5.$$ Тогда

   $$5e^{5x+2}=5 \Rightarrow e^{5x+2}=1 \Rightarrow 5x+2=0 \Rightarrow x=-\frac{2}{5}.$$

   Найдём ординату точки касания:

   $$f\!\left(-\frac{2}{5}\right)=e^0=1.$$

   Уравнение касательной:

   $$y-1=5\left(x+\frac{2}{5}\right),$$

   то есть

   $$y=5x+3.$$

3. Для функции $$f(x)=e^{-2x}$$ производная равна

   $$f'(x)=-2e^{-2x}.$$

   Касательная параллельна прямой $$y=-x,$$ значит её угловой коэффициент равен $$-1.$$ Тогда

   $$-2e^{-2x}=-1 \Rightarrow e^{-2x}=\frac12.$$

   Отсюда

   $$-2x=\ln\frac12=-\ln 2,\qquad x=\frac12\ln 2.$$

   Точка касания:

   $$f\!\left(\frac12\ln 2\right)=\frac12.$$

   Уравнение касательной:

   $$y-\frac12=-1\left(x-\frac12\ln 2\right),$$

   то есть

   $$y=\frac12-x+\frac12\ln 2.$$

4. Для функции $$f(x)=\ln(3x-2)$$ производная равна

   $$f'(x)=\frac{3}{3x-2}.$$

   Касательная параллельна прямой $$y=3x-2,$$ значит её наклон равен $$3.$$ Тогда

   $$\frac{3}{3x-2}=3 \Rightarrow 3x-2=1 \Rightarrow x=1.$$

   Точка касания:

   $$f(1)=\ln(1)=0.$$

   Уравнение касательной:

   $$y-0=3(x-1),$$

   откуда

   $$y=3x-3.$$

Ответ

1) $$y=ex$$; 2) $$y=5x+3$$; 3) $$y=\frac12-x+\frac12\ln 2$$; 4) $$y=3x-3$$.