Упр.8.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=e^x+e^(-x); 2) f(x)=(2^x-7)(2^x-9).

1) $$f(x)=e^x+e^{-x}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=e^x-e^{-x}$$

Для горизонтальной касательной нужно, чтобы $$f'(x)=0$$:

$$e^x-e^{-x}=0$$

$$e^x=e^{-x}$$

$$x=-x$$

$$x=0$$

Найдём значение функции в этой точке:

$$f(0)=e^0+e^{-0}=1+1=2$$

Следовательно, уравнение горизонтальной касательной:

$$y=2$$

2) $$f(x)=(2^x-7)(2^x-9)$$

Раскроем скобки:

$$f(x)=2^{2x}-16\cdot 2^x+63$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2\cdot 2^{2x}\ln 2-16\cdot 2^x\ln 2$$

Вынесем общий множитель:

$$f'(x)=2^x\ln 2\,(2\cdot 2^x-16)$$

Приравняем производную к нулю:

$$2^x\ln 2\,(2\cdot 2^x-16)=0$$

Так как $$2^x>0$$ и $$\ln 2\neq 0$$, получаем:

$$2\cdot 2^x-16=0$$

$$2^x=8$$

$$x=3$$

Найдём значение функции:

$$f(3)=(2^3-7)(2^3-9)=(8-7)(8-9)=-1$$

Следовательно, уравнение горизонтальной касательной:

$$y=-1$$

Ответ

1) $$y=2$$; 2) $$y=-1$$.