Упр.8.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=e^(5x), x_0=0; 4) f(x)=4x-ln 4, x_0=1;
2) f(x)=2e^x-cos(x), x_0=0; 5) f(x)=ln (3x-5), x_0=2;
3) f(x)=3^(2x-3), x_0=2; 6) f(x)=log_2 (x+3), x_0=1.

Подробный ответ

$$f(x)=e^{5x}, \quad x_0=0$$
$$f(0)=e^{5\cdot 0}=1$$
$$f'(x)=5e^{5x}$$
$$f'(0)=5e^{5\cdot 0}=5$$
Уравнение касательной:
$$y=1+5(x-0)=1+5x$$
$$f(x)=2e^x-\cos x, \quad x_0=0$$
$$f(0)=2e^0-\cos 0=2-1=1$$
$$f'(x)=2e^x+\sin x$$
$$f'(0)=2e^0+\sin 0=2$$
Уравнение касательной:
$$y=1+2(x-0)=1+2x$$
$$f(x)=3^{2x-3}, \quad x_0=2$$
$$f(2)=3^{2\cdot 2-3}=3$$
$$f'(x)=3^{2x-3}\cdot 2\ln 3$$
$$f'(2)=3^{2\cdot 2-3}\cdot 2\ln 3=6\ln 3$$
Уравнение касательной:
$$y=3+6\ln 3\,(x-2)$$
$$f(x)=4x-\ln 4, \quad x_0=1$$
$$f(1)=4\cdot 1-\ln 4=4-\ln 4$$
$$f'(x)=4$$
$$f'(1)=4$$
Уравнение касательной:
$$y=4-\ln 4+4(x-1)=4x-\ln 4$$
$$f(x)=\ln(3x-5), \quad x_0=2$$
$$f(2)=\ln(3\cdot 2-5)=\ln 1=0$$
$$f'(x)=\frac{3}{3x-5}$$
$$f'(2)=\frac{3}{3\cdot 2-5}=3$$
Уравнение касательной:
$$y=0+3(x-2)=3x-6$$
$$f(x)=\log_2(x+3), \quad x_0=1$$
$$f(1)=\log_2(1+3)=\log_2 4=2$$
$$f'(x)=\frac{1}{(x+3)\ln 2}$$
$$f'(1)=\frac{1}{(1+3)\ln 2}=\frac{1}{4\ln 2}$$
Уравнение касательной:
$$y=2+\frac{1}{4\ln 2}(x-1)$$