Упр.8.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=e^(-2x), x_0=0; 5) f(x)=3x+ln x, x_0=1;
2) f(x)=e^x+sin x, x_0=0; 6) f(x)=ln (5+4x), x_0=-1;
3) f(x)=x·2^x, x_0=1; 7) f(x)=log_3 (2x+1), x_0=1;
4) f(x)=6^(3x+4), x_0=-1; 8) f(x)=2ln (x-2), x_0=4.

1. $$f(x)=e^{-2x}, \quad x_0=0$$

   Найдём значение функции и производную в точке $$x_0$$:

   $$f(0)=e^0=1,$$
   $$f'(x)=-2e^{-2x}, \quad f'(0)=-2.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=1-2(x-0)=1-2x.$$

2. $$f(x)=e^x+\sin x, \quad x_0=0$$
   $$f(0)=e^0+\sin 0=1,$$
   $$f'(x)=e^x+\cos x, \quad f'(0)=1+1=2.$$
   $$y=1+2(x-0)=1+2x.$$
3. $$f(x)=x\cdot 2^x, \quad x_0=1$$
   $$f(1)=1\cdot 2^1=2,$$
   $$f'(x)=2^x+x\cdot 2^x\ln 2,$$
   $$f'(1)=2+2\ln 2.$$
   $$y=2+(2+2\ln 2)(x-1)=(2+2\ln 2)x-2\ln 2.$$
4. $$f(x)=6^{3x+4}, \quad x_0=-1$$
   $$f(-1)=6^{3\cdot(-1)+4}=6,$$
   $$f'(x)=6^{3x+4}\cdot 3\ln 6,$$
   $$f'(-1)=6\cdot 3\ln 6=18\ln 6.$$
   $$y=6+18\ln 6\,(x+1)=18x\ln 6+18\ln 6+6.$$
5. $$f(x)=3x+\ln x, \quad x_0=1$$
   $$f(1)=3+\ln 1=3,$$
   $$f'(x)=3+\frac{1}{x}, \quad f'(1)=4.$$
   $$y=3+4(x-1)=4x-1.$$
6. $$f(x)=\ln(5+4x), \quad x_0=-1$$
   $$f(-1)=\ln(5-4)=\ln 1=0,$$
   $$f'(x)=\frac{4}{5+4x}, \quad f'(-1)=4.$$
   $$y=0+4(x+1)=4x+4.$$
7. $$f(x)=\log_3(2x+1), \quad x_0=1$$
   $$f(1)=\log_3 3=1,$$
   $$f'(x)=\frac{2}{(2x+1)\ln 3}, \quad f'(1)=\frac{2}{3\ln 3}.$$
   $$y=1+\frac{2}{3\ln 3}(x-1)=\frac{2x}{3\ln 3}-\frac{2}{3\ln 3}+1.$$
8. $$f(x)=2\ln(x-2), \quad x_0=4$$
   $$f(4)=2\ln 2,$$
   $$f'(x)=\frac{2}{x-2}, \quad f'(4)=1.$$
   $$y=2\ln 2+(x-4)=x+2\ln 2-4.$$

Ответ

1. $$y=1-2x$$
2. $$y=1+2x$$
3. $$y=(2+2\ln 2)x-2\ln 2$$
4. $$y=18x\ln 6+18\ln 6+6$$
5. $$y=4x-1$$
6. $$y=4x+4$$
7. $$y=\frac{2x}{3\ln 3}-\frac{2}{3\ln 3}+1$$
8. $$y=x+2\ln 2-4$$