Упр.8.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=4e^x; 4) y=e^x sin(x); 7) y=5^x; 10) y=x·3^x;
2) y=e^(5x); 5) y=e^x/(x-2); 8) y=2^x^2; 11) y=(2^x-3)/(2^x+1);
3) y=x^3 e^x; 6) y=e^x+e^(-x); 9) y=7^(2x-3); 12) y=0,3^tg(x).

1. $$y=4e^x$$
   
   $$y’=4e^x.$$
2. $$y=e^{5x}$$
   
   По правилу производной сложной функции:
   $$y’=5e^{5x}.$$
3. $$y=x^3e^x$$
   
   По правилу произведения:
   $$
   y’=(x^3)’e^x+x^3(e^x)’=3x^2e^x+x^3e^x=x^2e^x(3+x).
   $$
4. $$y=e^x\sin x$$
   
   По правилу произведения:
   $$
   y’=(e^x)’\sin x+e^x(\sin x)’=e^x\sin x+e^x\cos x=e^x(\sin x+\cos x).
   $$
5. $$y=\frac{e^x}{x-2}$$
   
   По правилу производной частного:
   $$
   y’=\frac{e^x(x-2)-e^x}{(x-2)^2}=\frac{e^x(x-3)}{(x-2)^2}.
   $$
6. $$y=e^x+e^{-x}$$
   
   $$
   y’=e^x-e^{-x}.
   $$
7. $$y=5^x$$
   
   $$
   y’=5^x\ln 5.
   $$
8. $$y=2^{x^2}$$
   
   По правилу производной сложной функции:
   $$
   y’=2^{x^2}\ln 2\cdot 2x=2x\cdot 2^{x^2}\ln 2.
   $$
9. $$y=7^{2x-3}$$
   
   $$
   y’=7^{2x-3}\ln 7\cdot 2=2\cdot 7^{2x-3}\ln 7.
   $$
10. $$y=x\cdot 3^x$$
    
    По правилу произведения:
    $$
    y’=(x)’\cdot 3^x+x\cdot (3^x)’=3^x+x\cdot 3^x\ln 3=3^x(1+x\ln 3).
    $$
11. $$y=\frac{2^x-3}{2^x+1}$$
    
    По правилу производной частного:
    $$
    y’=\frac{(2^x\ln 2)(2^x+1)-(2^x\ln 2)(2^x-3)}{(2^x+1)^2}
    $$
    $$
    =\frac{2^x\ln 2\bigl((2^x+1)-(2^x-3)\bigr)}{(2^x+1)^2}
    =\frac{4\cdot 2^x\ln 2}{(2^x+1)^2}.
    $$
12. $$y=0{,}3^{\tg x}$$
    
    По правилу производной сложной функции:
    $$
    y’=0{,}3^{\tg x}\ln 0{,}3\cdot (\tg x)’.
    $$
    Так как
    $$ (\tg x)’=\frac{1}{\cos^2 x}, $$
    то
    $$
    y’=\frac{0{,}3^{\tg x}\ln 0{,}3}{\cos^2 x}.
    $$

Ответ

1. $$y’=4e^x$$
2. $$y’=5e^{5x}$$
3. $$y’=x^2e^x(3+x)$$
4. $$y’=e^x(\sin x+\cos x)$$
5. $$y’=\frac{e^x(x-3)}{(x-2)^2}$$
6. $$y’=e^x-e^{-x}$$
7. $$y’=5^x\ln 5$$
8. $$y’=2x\cdot 2^{x^2}\ln 2$$
9. $$y’=2\cdot 7^{2x-3}\ln 7$$
10. $$y’=3^x(1+x\ln 3)$$
11. $$y’=\frac{4\cdot 2^x\ln 2}{(2^x+1)^2}$$
12. $$y’=\frac{0{,}3^{\tg x}\ln 0{,}3}{\cos^2 x}$$