Упр.7.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) log_2 (2x-3) < log_2 (x+1); 2) log_0,6 (3-2x) > log_0,6 (5x-2);
3) lg (x^2-2) > lg (4x+3);
4) log_0,1 (10-2x) > log_0,1 (x^2-x-2).

1. $$\log_2(2x-3)<\log_2(x+1)$$

   Так как основание $$2>1$$, то знак неравенства сохраняется:

   $$2x-3<x+1$$

   $$x<4$$

   Область определения:

   $$2x-3>0,\quad x+1>0$$

   $$x>\frac{3}{2}$$

   Пересекаем условия:

   $$\frac{3}{2}<x<4$$

2. $$\log_{0,6}(3-2x)>\log_{0,6}(5x-2)$$

   Так как основание $$0,6<1$$, то знак неравенства меняется:

   $$3-2x<5x-2$$

   $$7x>5$$

   $$x>\frac{5}{7}$$

   Область определения:

   $$3-2x>0,\quad 5x-2>0$$

   $$x<\frac{3}{2},\quad x>\frac{2}{5}$$

   Пересекаем условия:

   $$\frac{5}{7}<x<\frac{3}{2}$$

3. $$\lg(x^2-2)>\lg(4x+3)$$

   Так как основание десятичного логарифма больше $$1$$, получаем:

   $$x^2-2>4x+3$$

   $$x^2-4x-5>0$$

   $$ (x-5)(x+1)>0 $$

   Отсюда:

   $$x<-1 \quad \text{или} \quad x>5$$

   Область определения:

   $$x^2-2>0,\quad 4x+3>0$$

   $$x<-\sqrt{2}\ \text{или}\ x>\sqrt{2},\quad x>-\frac{3}{4}$$

   С учётом ОДЗ остаётся:

   $$x>5$$

4. $$\log_{0,1}(10-2x)>\log_{0,1}(x^2-x-2)$$

   Так как основание $$0,1<1$$, знак неравенства меняется:

   $$10-2x<x^2-x-2$$

   $$x^2+x-12>0$$

   $$ (x+4)(x-3)>0 $$

   Отсюда:

   $$x<-4 \quad \text{или} \quad x>3$$

   Область определения:

   $$10-2x>0,\quad x^2-x-2>0$$

   $$x<5,\quad (x-2)(x+1)>0$$

   $$x<-1 \quad \text{или} \quad x>2$$

   Пересекаем с найденным решением:

   $$(-\infty,-4)\cup(3,5)$$

Ответ

1) $$\left(\frac{3}{2};4\right)$$; 2) $$\left(\frac{5}{7};\frac{3}{2}\right)$$; 3) $$\left(5;+\infty\right)$$; 4) $$(-\infty;-4)\cup(3;5)$$.