Упр.7.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) lg (2x+3) > lg (x-1);
2) log_5 (2x) < log_5 (x+1);
3) log_0,2 (2x-1) > log_0,2 (3x-4);
4) log_0,4 (x^2-3) < log_0,4 (x+3);
5) log_0,7 (x^2-2x-3) < log_0,7 (9-x);
6) log_(1/3) (x62+x+31) < log_(1/3) (10x+11).
$$\lg(2x+3) > \lg(x-1)$$
Так как функция $$\lg x$$ возрастает, то
$$2x+3 > x-1,$$
откуда $$x > -4.$$
Область определения:
$$2x+3 > 0,\quad x-1 > 0,$$
значит $$x > 1.$$
Тогда
$$x \in (1; +\infty).$$
$$\log_5(2x) < \log_5(x+1)$$
Так как $$5 > 1,$$ получаем
$$2x < x+1,$$
откуда $$x < 1.$$
Область определения:
$$2x > 0,\quad x+1 > 0,$$
значит $$x > 0.$$
Следовательно,
$$x \in (0; 1).$$
$$\log_{0,2}(2x-1) > \log_{0,2}(3x-4)$$
Так как $$0<0,2<1,$$ функция убывает, поэтому
$$2x-1 < 3x-4,$$
откуда $$x > 3.$$
Область определения:
$$2x-1 > 0,\quad 3x-4 > 0,$$
значит $$x > \frac{4}{3}.$$
Итак,
$$x \in (3; +\infty).$$
$$\log_{0,4}(x^2-3) < \log_{0,4}(x+3)$$
Так как $$0<0,4<1,$$ получаем
$$x^2-3 > x+3,$$
$$x^2-x-6 > 0,$$
$$ (x-3)(x+2) > 0.$$
Отсюда
$$x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty).$$
Область определения:
$$x^2-3 > 0,\quad x+3 > 0.$$
Пересечение с ОДЗ не меняет ответ.
$$\log_{0,7}(x^2-2x-3) < \log_{0,7}(9-x)$$
Так как $$0<0,7<1,$$ имеем
$$x^2-2x-3 > 9-x,$$
$$x^2-x-12 > 0,$$
$$ (x-4)(x+3) > 0.$$
Тогда
$$x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty).$$
Область определения:
$$x^2-2x-3 > 0,\quad 9-x > 0,$$
то есть
$$ (x-3)(x+1) > 0,\quad x < 9.$$
После пересечения получаем
$$x \in (-\infty; -3] \cup [4; 9).$$
$$\log_{1/3}(x^2+x+31) < \log_{1/3}(10x+11)$$
Так как $$0<\frac13<1,$$ функция убывает, значит
$$x^2+x+31 > 10x+11,$$
$$x^2-9x+20 > 0,$$
$$ (x-4)(x-5) > 0.$$
Отсюда
$$x \in (-\infty; 4) \cup (5; +\infty).$$
Область определения:
$$10x+11 > 0,$$
то есть
$$x > -\frac{11}{10}.$$
Итак,
$$x \in \left(-\frac{11}{10}; 4\right) \cup (5; +\infty).$$
Ответ
1) $$\left(1; +\infty\right)$$; 2) $$\left(0; 1\right)$$; 3) $$\left(3; +\infty\right)$$; 4) $$\left(-\infty; -2\right) \cup \left(3; +\infty\right)$$; 5) $$\left(-\infty; -3\right] \cup \left[4; 9\right)$$; 6) $$\left(-\frac{11}{10}; 4\right) \cup \left(5; +\infty\right).$$
