Упр.7.34 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 7.34. Решите неравенство log_3 (v(x-1)+3)·log_5 (x^2+x+3) > 1.

Рассмотрим неравенство

$$\log_3(\sqrt{x-1}+3)\cdot \log_5(x^2+x+3)\ge 1.$$

Найдём область определения:

$$x-1\ge 0,\quad x\ge 1.$$

Так как $$\sqrt{x-1}\ge 0,$$ то

$$\sqrt{x-1}+3\ge 3,$$

следовательно,

$$\log_3(\sqrt{x-1}+3)\ge \log_3 3=1.$$

Рассмотрим вторую функцию:

$$g(x)=\log_5(x^2+x+3).$$

Квадратичная функция $$x^2+x+3$$ имеет минимум в точке

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2},$$

и

$$x^2+x+3\ge \left(-\frac12\right)^2-\frac12+3=\frac{11}{4}>5?$$

Удобнее заметить, что при $$x\ge 1$$ имеем

$$x^2+x+3\ge 1+1+3=5,$$

значит

$$\log_5(x^2+x+3)\ge \log_5 5=1.$$

Тогда на области определения произведение двух множителей не меньше единицы:

$$\log_3(\sqrt{x-1}+3)\cdot \log_5(x^2+x+3)\ge 1\cdot 1=1.$$

Следовательно, неравенство выполняется при всех $$x$$ из области определения.

Ответ

$$[1;+\infty)$$