Упр.7.33 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 7.33. Решите неравенство (v(x+2)+1)log_3 (x^2+4x+13) > 2.

Рассмотрим неравенство

$$\left(\sqrt{x+2}+1\right)\log_3(x^2+4x+13)\ge 2.$$

Обозначим

$$f(x)=\sqrt{x+2}+1,\qquad g(x)=\log_3(x^2+4x+13).$$

Найдём область определения:

$$x+2\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge -2.$$

При этом

$$x^2+4x+13=(x+2)^2+9\ge 9,$$

значит,

$$\log_3(x^2+4x+13)\ge \log_3 9=2.$$

Кроме того,

$$\sqrt{x+2}\ge 0 \;\Rightarrow\; \sqrt{x+2}+1\ge 1.$$

Следовательно, на области определения

$$\left(\sqrt{x+2}+1\right)\log_3(x^2+4x+13)\ge 1\cdot 2=2.$$

Значит, неравенство выполняется при всех допустимых значениях $x$.

Ответ

$$[-2;+\infty)$$