Упр.7.32 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 7.32. Решите систему неравенств {(log_x (2cos(x)+1), 0 < x < 2п).

Рассмотрим неравенство

$$\log_x(2\cos x+1)\le 0,\qquad 0<x<2\pi.$$

Для логарифма нужно учесть область определения:

$$x>0,\quad x\ne 1,\quad 2\cos x+1>0.$$

Так как основание логарифма зависит от $x$, рассмотрим два случая.

1) Если $$x>1,$$ то функция $$\log_x y$$ возрастает, и из неравенства получаем

$$2\cos x+1\le 1,$$

то есть

$$2\cos x\le 0,\qquad \cos x\le 0.$$

При этом из области определения:

$$2\cos x+1>0,\qquad \cos x>-\frac12.$$

Значит, при $$x>1$$ имеем

$$-\frac12<\cos x\le 0.$$

На промежутке $$0<x<2\pi$$ это даёт

$$x\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2},\frac{4\pi}{3}\right].$$

2) Если $$0<x<1,$$ то функция $$\log_x y$$ убывает, и неравенство равносильно

$$2\cos x+1\ge 1,$$

то есть

$$\cos x\ge 0.$$

С учётом области определения $$2\cos x+1>0$$ получаем

$$0\le \cos x,\qquad x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right).$$

Так как дополнительно $$0<x<1,$$ то здесь подходит только

$$x\in(0,1).$$

Объединяя все найденные промежутки, получаем:

$$x\in(0,1)\cup\left[\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2},\frac{4\pi}{3}\right].$$

Ответ

$$x\in(0,1)\cup\left[\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2},\frac{4\pi}{3}\right].$$