Упр.7.31 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 7.31. Решите систему неравенств {(log_x (2sin(x)+1) < 0, 0 < x < 2п).

Рассмотрим неравенство $$\log_x(2\sin x+1)\le 0,$$ при $$0<x<2\pi.$$

Для логарифма нужны условия:

$$x>0,\quad x\ne 1,\quad 2\sin x+1>0.$$

Так как основание логарифма зависит от $$x,$$ рассмотрим два случая.

1) Если $$x>1,$$ то функция $$\log_x t$$ возрастает, и неравенство равносильно

$$2\sin x+1\le 1,$$

то есть

$$2\sin x\le 0,\quad \sin x\le 0.$$

На промежутке $$0<x<2\pi$$ это даёт

$$x\in[\pi,2\pi).$$

С учётом условия $$x>1$$ и области определения $$2\sin x+1>0,$$ получаем

$$\sin x>-\frac12.$$

На отрезке $$[\pi,2\pi)$$ это выполняется при

$$x\in\left(\pi,\frac{7\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{6},2\pi\right).$$

2) Если $$0<x<1,$$ то функция $$\log_x t$$ убывает, и неравенство равносильно

$$2\sin x+1\ge 1,$$

то есть

$$\sin x\ge 0.$$

На промежутке $$0<x<1$$ это верно для всех $$x,$$ значит получаем

$$x\in(0,1).$$

Объединяя результаты, имеем

$$x\in(0,1)\cup\left(\pi,\frac{7\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{6},2\pi\right).$$

Ответ

$$\left(0,1\right)\cup\left(\pi,\frac{7\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{6},2\pi\right).$$