Упр.7.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) log_7 x > 2; 5) log_2 (5x+1) > 4; 9) log_0,5 (2x+1) > -2;
2) log_5 x < -1; 6) log_0,6 (x-2) < 2; 10) log_0,2 (x+6) > -1.
3) log_(1/2) x < 5; 7) log_3 (2x-1) < 3; 4) log_(1/3) x > 1; 8) log_7 (9x+4) < 2;

1. $$\log_7 x>2$$
   
   Так как $$7>1$$, знак неравенства сохраняется:
   $$x>7^2=49.$$
   
   Ответ: $$(49;+\infty).$$
2. $$\log_5 x<-1$$
   
   Так как $$5>1$$, знак неравенства сохраняется:
   $$x<5^{-1}=\frac{1}{5}.$$
   
   С учётом ОДЗ $$x>0$$ получаем:
   $$0<x<\frac{1}{5}.$$
   
   Ответ: $$(0;\tfrac{1}{5}).$$
3. $$\log_{\frac12} x<5$$
   
   Так как $$0<\frac12<1$$, знак неравенства меняется:
   $$x>\left(\frac12\right)^5=\frac{1}{32}.$$
   
   Ответ: $$\left(\frac{1}{32};+\infty\right).$$
4. $$\log_{\frac13} x>1$$
   
   Так как $$0<\frac13<1$$, знак неравенства меняется:
   $$x<\left(\frac13\right)^1=\frac13.$$
   
   С учётом ОДЗ $$x>0$$:
   $$0<x<\frac13.$$
   
   Ответ: $$\left(0;\frac13\right).$$
5. $$\log_2(5x+1)>4$$
   
   Так как $$2>1$$, знак неравенства сохраняется:
   $$5x+1>2^4=16,$$
   $$5x>15,$$
   $$x>3.$$
   
   С учётом ОДЗ $$5x+1>0$$ получаем тот же результат.
   
   Ответ: $$(3;+\infty).$$
6. $$\log_{0,6}(x-2)<2$$
   
   Так как $$0<0,6<1$$, знак неравенства меняется:
   $$x-2>0,6^2=0,36,$$
   $$x>2,36.$$
   
   Ответ: $$(2,36;+\infty).$$
7. $$\log_3(2x-1)<3$$
   
   Так как $$3>1$$, знак неравенства сохраняется:
   $$2x-1<3^3=27,$$
   $$2x<28,$$
   $$x<14.$$
   
   С учётом ОДЗ $$2x-1>0$$, то есть $$x>\frac12$$, получаем:
   $$\frac12<x<14.$$
   
   Ответ: $$\left(\frac12;14\right).$$
8. $$\log_7(9x+4)<2$$
   
   Так как $$7>1$$, знак неравенства сохраняется:
   $$9x+4<7^2=49,$$
   $$9x<45,$$
   $$x<5.$$
   
   С учётом ОДЗ $$9x+4>0$$, то есть $$x>-\frac49$$, получаем:
   $$-\frac49<x<5.$$
   
   Ответ: $$\left(-\frac49;5\right).$$
9. $$\log_{0,5}(2x+1)>-2$$
   
   Так как $$0<0,5<1$$, знак неравенства меняется:
   $$2x+1<0,5^{-2}=4,$$
   $$2x<3,$$
   $$x<1,5.$$
   
   С учётом ОДЗ $$2x+1>0$$, то есть $$x>-0,5$$, получаем:
   $$-0,5<x<1,5.$$
   
   Ответ: $$(-0,5;1,5).$$
10. $$\log_{0,2}(x+6)>-1$$
    
    Так как $$0<0,2<1$$, знак неравенства меняется:
    $$x+6<0,2^{-1}=5,$$
    $$x<-1.$$
    
    С учётом ОДЗ $$x+6>0$$, то есть $$x>-6$$, получаем:
    $$-6<x<-1.$$
    
    Ответ: $$(-6;-1).$$