Упр.7.29 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 7.29. Для каждого значения параметра a решите неравенство (2^x-a)v(x-3) > 0.
Рассмотрим неравенство
$$\left(2^x-a\right)\sqrt{x-3}>0.$$
Область определения:
$$x-3\ge 0,\quad x\ge 3.$$
Чтобы произведение было положительным, множители должны быть одного знака. Но при $$x\ge 3$$ имеем $$\sqrt{x-3}\ge 0,$$ поэтому для строгого неравенства нужно
$$2^x-a>0,\quad \sqrt{x-3}>0.$$
Из условия $$\sqrt{x-3}>0$$ получаем
$$x>3.$$
Из неравенства $$2^x-a>0$$ следует
$$2^x>a.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$a\le 8,$$ то при всех $$x>3$$ выполняется $$2^x\ge 2^3=8\ge a,$$ значит, неравенство верно для всех $$x>3.$$
Тогда
$$x\in(3;+\infty).$$
Если $$a>8,$$ то из $$2^x>a$$ получаем
$$x>\log_2 a.$$
С учётом области определения имеем
$$x\in(\log_2 a;+\infty).$$
При $$a=8$$ получаем тот же результат, что и в первом случае, так как при $$x=3$$ произведение равно нулю, а нужно строгое неравенство.
Ответ
Если $$a\le 8,$$ то $$x\in(3;+\infty).$$ Если $$a>8,$$ то $$x\in(\log_2 a;+\infty).$$
