Упр.7.28 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(-x^2+6x-5)log_3 (x-2) < 0; 2) (log_v2 (x-3))^2/(x^2-4x-5) > 0.

1) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{-x^2+6x-5}\,\log_3(x-2)\le 0.$$

Чтобы произведение было неположительным, достаточно рассмотреть случаи, когда один из множителей равен нулю, а второй определён.

Найдём область определения:

$$-x^2+6x-5\ge 0$$

$$x^2-6x+5\le 0$$

$$D=36-20=16,\quad x_1=1,\quad x_2=5,$$

значит

$$1\le x\le 5.$$

Кроме того,

$$x-2>0,\quad x>2.$$

Теперь исследуем знак логарифма:

$$\log_3(x-2)\le 0 \iff 0<x-2\le 1 \iff 2<x\le 3.$$

Тогда с учётом области определения получаем

$$x\in(2;3].$$

Также произведение равно нулю при

$$\sqrt{-x^2+6x-5}=0 \iff -x^2+6x-5=0 \iff (x-1)(x-5)=0,$$

откуда

$$x=1 \text{ или } x=5.$$

С учётом условия $$x>2$$ подходит только $$x=5.$$

Итак,

$$x\in(2;3]\cup\{5\}.$$

2) Решим неравенство

$$\frac{\left(\log_{\sqrt2}(x-3)\right)^2}{x^2-4x-5}>0.$$

Числитель неотрицателен и обращается в нуль только при

$$\log_{\sqrt2}(x-3)=0 \iff x-3=1 \iff x=4.$$

Знаменатель разложим на множители:

$$x^2-4x-5=(x-5)(x+1).$$

Для положительности дроби нужно, чтобы числитель был положителен, а знаменатель — положителен.

1) Числитель положителен при

$$\log_{\sqrt2}(x-3)\ne 0,\quad x-3>0 \iff x>3.$$

2) Знаменатель положителен при

$$x^2-4x-5>0 \iff (x-5)(x+1)>0 \iff x<-1 \text{ или } x>5.$$

С учётом области определения $$x>3$$ получаем

$$x>5.$$

Точка $$x=4$$ не подходит, так как числитель равен нулю.

Следовательно,

$$x\in(5;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in(2;3]\cup\{5\}$$

2) $$x\in(5;+\infty)$$