Упр.7.27 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(-x^2+7x-10)log_2 (x-3) < 0; 2) v(4-x^2)(log_3 ((x+1)/x)+2) < 0; 3) (x^2-2,8x+1,8)v(log_(1/5) |x-2|) > 0.

1. $$\sqrt{-x^2+7x-10}\,\log_2(x-3)<0.$$ Так как $$\sqrt{-x^2+7x-10}\ge 0,$$ то произведение будет отрицательным только при $$\sqrt{-x^2+7x-10}>0 \quad \text{и} \quad \log_2(x-3)<0.$$

   Из условия существования корня:
   $$-x^2+7x-10\ge 0,$$
   $$x^2-7x+10\le 0,$$
   $$ (x-2)(x-5)\le 0,$$
   откуда
   $$2\le x\le 5.$$

   Из неравенства для логарифма:
   $$\log_2(x-3)<0 \iff 0<x-3<1,$$ то есть $$3<x<4.$$

   Пересекаем условия:
   $$[2;5]\cap(3;4)=(3;4).$$

2. $$\sqrt{4-x^2}\left(\log_3\frac{x+1}{x}+2\right)<0.$$ Так как $$\sqrt{4-x^2}\ge 0,$$ то нужно $$\sqrt{4-x^2}>0 \quad \text{и} \quad \log_3\frac{x+1}{x}+2<0.$$

   Из условия существования корня:
   $$4-x^2\ge 0,$$
   $$-2\le x\le 2.$$

   Решим неравенство:
   $$\log_3\frac{x+1}{x}+2<0,$$ $$\log_3\frac{x+1}{x}< -2,$$ $$\frac{x+1}{x}<\frac{1}{9}.$$ Тогда $$\frac{9x+9-x}{9x}<0,$$ $$\frac{8x+9}{x}<0.$$ Отсюда $$-\frac{9}{8}

   Также нужно, чтобы аргумент логарифма был положительным:
   $$\frac{x+1}{x}>0,$$
   то есть
   $$x<-1 \quad \text{или} \quad x>0.$$

   Пересекаем все условия:
   $$\left(-\frac{9}{8};-1\right)\cup\{\,\text{нет дополнительных точек из }[-2;2]\,\}.$$
   С учётом области определения и строгого неравенства получаем
   $$\left[-\frac{9}{8};-1\right)\cup\{-2;2\}$$
   невозможно, поэтому оставляем только допустимые значения:
   $$\left[-\frac{9}{8};-1\right)\cup\{-2;2\}.$$

3. $$(x^2-2{,}8x+1{,}8)\sqrt{\log_{1/5}|x-2|}>0.$$
   Так как $$\sqrt{\log_{1/5}|x-2|}\ge 0,$$ то нужно
   $$x^2-2{,}8x+1{,}8>0$$
   и
   $$\log_{1/5}|x-2|>0.$$

   Решим квадратное неравенство:
   $$x^2-2{,}8x+1{,}8=0,$$
   $$5x^2-14x+9=0,$$
   $$D=14^2-4\cdot 5\cdot 9=16,$$
   $$x_1=\frac{14-4}{10}=1,\qquad x_2=\frac{14+4}{10}=1{,}8.$$
   Тогда
   $$x^2-2{,}8x+1{,}8>0 \iff x<1 \ \text{или}\ x>1{,}8.$$

   Теперь рассмотрим логарифм:
   $$\log_{1/5}|x-2|>0.$$
   Так как основание $$\frac15<1,$$ то
   $$0<|x-2|<1.$$
   Отсюда
   $$1<x<3,\qquad x\ne 2.$$

   Пересекаем условия:
   $$\bigl((-\infty;1)\cup(1{,}8;+\infty)\bigr)\cap\bigl((1;3)\setminus\{2\}\bigr)=(1{,}8;2)\cup(2;3).$$

Ответ

1) $$ (3;4) $$;
2) $$ \left(-\frac{9}{8};-1\right) $$;
3) $$ (1{,}8;2)\cup(2;3). $$