Упр.7.26 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 7.26. Решите неравенство v(20·3^x-11) > 3^x-4.

Рассмотрим неравенство:

$$\sqrt{20\cdot 3^x-11}>3^x-4.$$

Обозначим $$t=3^x,$$ тогда $$t>0$$ и получаем

$$\sqrt{20t-11}>t-4.$$

Если $$t-4<0,$$ то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется автоматически. Тогда

$$t<4.$$

С учётом области определения корня:

$$20t-11\ge 0 \quad \Rightarrow \quad t\ge \frac{11}{20}.$$

Значит, при $$\frac{11}{20}\le t<4$$ неравенство верно.

Если же $$t\ge 4,$$ возведём обе части в квадрат:

$$20t-11>(t-4)^2,$$

$$20t-11>t^2-8t+16,$$

$$t^2-28t+27<0,$$

$$\left(t-1\right)\left(t-27\right)<0.$$

Отсюда

$$1<t<27.$$

С учётом условия $$t\ge 4$$ получаем

$$4\le t<27.$$

Объединяя оба случая, имеем

$$\frac{11}{20}\le t<27.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем

$$\frac{11}{20}\le 3^x<27.$$

Так как $$27=3^3,$$ то

$$\log_3\frac{11}{20}\le x<3.$$

Ответ

$$\left[\log_3\frac{11}{20};\,3\right).$$