Упр.7.25 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 7.25. Решите неравенство v(2·5^x-1) > 5^x-2.

Рассмотрим неравенство:

$$\sqrt{2\cdot 5^x-1} > 5^x-2.$$

Обозначим $$t=5^x$$, тогда $$t>0$$, и неравенство принимает вид

$$\sqrt{2t-1} > t-2.$$

Сначала найдём область определения:

$$2t-1\ge 0,\quad t\ge \frac12.$$

Если $$t-2<0$$, то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется автоматически. Это происходит при

$$t<2.$$

Если $$t\ge 2$$, можно возвести обе части в квадрат:

$$2t-1 > (t-2)^2,$$

$$2t-1 > t^2-4t+4,$$

$$t^2-6t+5 < 0,$$

$$ (t-1)(t-5) < 0,$$

откуда

$$1<t<5.$$

С учётом условия $$t\ge \frac12$$ и случая $$t<2$$ получаем общий ответ по переменной $$t$$:

$$\frac12 \le t<5.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем

$$\frac12 \le 5^x<5.$$

Так как основание $$5>1$$, получаем

$$\log_5 \frac12 \le x<1.$$

Ответ

$$\left[\log_5 \frac12;\,1\right).$$