Упр.7.24 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) log_(3x-2) x < 1; 3) log_(x-1) (4-x) < 1; 2) log_x (x^2-7x+13) > 0; 4) log_x (6-x) > 2.

Подробный ответ

$$\log_{3x-2} x<1$$
Так как основание логарифма зависит от $x$, учитываем область определения и знак основания.
При $3x-2>1$ неравенство равносильно
$$x<3x-2.$$
Тогда
$$2<2x,$$
$$x>1.$$
Область определения:
$$3x-2>0,\quad 3x-2\ne1,\quad x>0,$$
откуда
$$x>\frac23,\quad x\ne1.$$
С учётом всех условий получаем
$$x\in\left(\frac23;1\right)\cup(1;+\infty).$$
$$\log_x(x^2-7x+13)>0$$
Рассмотрим случай $x>1$.
Тогда
$$x^2-7x+13>1,$$
$$x^2-7x+12>0,$$
$$ (x-3)(x-4)>0,$$
откуда
$$x<3 \quad \text{или} \quad x>4.$$
С учётом области определения $x>1$ получаем
$$1<x<3 \quad \text{или} \quad x>4.$$
При $0<x<1$ неравенство равносильно
$$x^2-7x+13<1,$$
$$x^2-7x+12<0,$$
$$ (x-3)(x-4)<0,$$
то есть
$$3<x<4,$$
но это не пересекается с условием $0<x<1$.
Значит,
$$x\in(1;3)\cup(4;+\infty).$$
$$\log_{x-1}(4-x)<1$$
Если $x>2$, то основание $x-1>1$, и неравенство равносильно
$$4-x<x-1,$$
$$5<2x,$$
$$x>\frac52.$$
Область определения:
$$x-1>0,\quad x-1\ne1,\quad 4-x>0,$$
то есть
$$x>1,\quad x\ne2,\quad x<4.$$
С учётом найденного получаем
$$x\in\left(\frac52;4\right).$$
Если $1<x<2$, то $0<x-1<1$, и неравенство меняет знак:
$$4-x>x-1,$$
$$x<\frac52,$$
что вместе с $1<x<2$ даёт
$$x\in(1;2).$$
Итак,
$$x\in(1;2)\cup\left(\frac52;4\right).$$
$$\log_x(6-x)\ge 2$$
Рассмотрим случай $x>1$.
Тогда
$$6-x\ge x^2,$$
$$x^2+x-6\le 0,$$
$$ (x+3)(x-2)\le 0,$$
откуда
$$-3\le x\le 2.$$
С учётом $x>1$ получаем
$$1<x\le 2.$$
Область определения:
$$x>0,\quad x\ne1,\quad 6-x>0,$$
то есть
$$x>0,\quad x\ne1,\quad x<6.$$
Следовательно,
$$x\in(1;2].$$