Упр.7.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) log_(2x-3) x > 1; 4) log_(x-2) (2x-7) < 1; 2) log_(x-2) (2x-9) < 0; 5) log_x (x+2) < 2; 3) log_(x+1) (5-x) > 1; 6) log_x (2x^2-3x) < 1.

1. $$\log_{2x-3} x>1$$
   
   При $$2x-3>1$$ знак неравенства сохраняется:
   $$x>2x-3$$
   $$x<3.$$
   
   Область определения:
   $$2x-3>0,\quad 2x-3\ne 1,\quad x>0.$$
   Отсюда
   $$x>\frac32,\quad x\ne 2.$$
   Совмещая условия, получаем:
   $$2<x<3.$$
2. $$\log_{x-2}(2x-9)<0$$
   
   Для логарифма с основанием $$x-2>1$$ имеем:
   $$0<2x-9<1.$$
   Тогда
   $$2x>9,\quad 2x<10,$$
   то есть
   $$\frac92<x<5.$$
   
   Область определения:
   $$x-2>0,\quad x-2\ne 1,\quad 2x-9>0.$$
   Это даёт тот же промежуток, поэтому
   $$\frac92<x<5.$$
3. $$\log_{x+1}(5-x)>1$$
   
   При $$x+1>1$$ получаем:
   $$5-x>x+1,$$
   $$4>2x,$$
   $$x<2.$$
   
   Область определения:
   $$x+1>0,\quad x+1\ne 1,\quad 5-x>0.$$
   Значит,
   $$x>-1,\quad x\ne 0,\quad x<5.$$
   Совмещая условия, получаем:
   $$(-1;0)\cup(0;2).$$
4. $$\log_{x-2}(2x-7)<1$$
   
   При $$x-2>1$$:
   $$2x-7<x-2,$$
   $$x<5.$$
   
   Область определения:
   $$x-2>0,\quad x-2\ne 1,\quad 2x-7>0.$$
   Отсюда
   $$x>\frac72,\quad x\ne 3.$$
   Совмещая, получаем:
   $$\left(\frac72;5\right).$$
5. $$\log_x(x+2)<2$$
   
   Рассмотрим случай $$x>1$$:
   $$x+2<x^2,$$
   $$x^2-x-2>0,$$
   $$(x-2)(x+1)>0.$$
   Так как $$x>1$$, получаем
   $$x>2.$$
   
   Область определения:
   $$x>0,\quad x\ne 1,\quad x+2>0.$$
   Следовательно,
   $$x\in(0;1)\cup[2;+\infty).$$
6. $$\log_x(2x^2-3x)<1$$
   
   При $$x>1$$:
   $$2x^2-3x<x,$$
   $$2x^2-4x<0,$$
   $$2x(x-2)<0.$$
   Отсюда
   $$0<x<2.$$
   С учётом условия $$x>1$$ получаем
   $$1<x<2.$$
   
   Область определения:
   $$x>0,\quad x\ne 1,\quad 2x^2-3x>0.$$
   Это даёт
   $$x>\frac32.$$
   Тогда окончательно:
   $$\left(\frac32;2\right).$$

Ответ

1) $$ (2;3) $$; 2) $$ \left(\frac92;5\right) $$; 3) $$ (-1;0)\cup(0;2) $$; 4) $$ \left(\frac72;5\right) $$; 5) $$ (0;1)\cup[2;+\infty) $$; 6) $$ \left(\frac32;2\right). $$