Упр.7.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) log_(7/4) log_5 (x^2-2x-3) < 0; 2) log_0,8 log_2 ((3x-1)/(2-x)) > 0.

1. $$\log_{\frac74}\log_5(x^2-2x-3)\le 0$$

   Так как $$\frac74>1,$$ то

   $$\log_5(x^2-2x-3)\le 1.$$

   Тогда

   $$x^2-2x-3\le 5,$$

   $$x^2-2x-8\le 0,$$

   $$ (x+2)(x-4)\le 0,$$

   откуда

   $$-2\le x\le 4.$$

   Учитываем область определения внешнего логарифма:

   $$\log_5(x^2-2x-3)>0,$$

   $$x^2-2x-3>1,$$

   $$x^2-2x-4>0,$$

   $$x^2-2x-4=0,$$

   $$x=1\pm \sqrt5.$$

   Следовательно,

   $$x<1-\sqrt5 \quad \text{или} \quad x>1+\sqrt5.$$

   Пересекаем с $$[-2;4]$$:

   $$x\in[-2;1-\sqrt5)\cup(1+\sqrt5;4].$$

2. $$\log_{0,8}\log_2\frac{3x-1}{2-x}>0$$

   Так как $$0<0,8<1,$$ то

   $$0<\log_2\frac{3x-1}{2-x}<1.$$

   Из неравенства $$\log_2\frac{3x-1}{2-x}>0$$ получаем

   $$\frac{3x-1}{2-x}>1,$$

   $$\frac{4x-3}{2-x}>0.$$

   Из неравенства $$\log_2\frac{3x-1}{2-x}<1$$ получаем

   $$\frac{3x-1}{2-x}<2,$$

   $$\frac{5x-5}{2-x}<0,$$

   $$\frac{x-1}{2-x}>0.$$

   Решая систему

   $$
   \begin{cases}
   \dfrac{4x-3}{2-x}>0,\\[4pt]
   \dfrac{x-1}{2-x}>0,
   \end{cases}
   $$

   получаем

   $$\frac34<x<1.$$

Ответ

1) $$[-2;1-\sqrt5)\cup(1+\sqrt5;4]$$; 2) $$\left(\frac34;1\right).$$