Упр.7.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (log_7 (7x))^2-log_7 x > 3; 3) ((log_3 x)^2-6log_3 x+8)/(log_3 x-1) > 0;
2) (log_6 (x/216))^2+8log_6 x-12 < 0; 4) log_0,5 x-2log_x 0,5 < 1.

Подробный ответ

$$\left(\log_7(7x)\right)^2-\log_7 x>3$$
Так как $$\log_7(7x)=1+\log_7 x,$$ получаем
$$\left(1+\log_7 x\right)^2-\log_7 x-3>0.$$
Обозначим $$t=\log_7 x.$$ Тогда
$$t^2+t-2>0,$$
$$\left(t+2\right)\left(t-1\right)>0.$$
Отсюда $$t<-2$$ или $$t>1.$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем
$$\log_7 x<-2 \Rightarrow 0<x<\frac{1}{49},$$
$$\log_7 x>1 \Rightarrow x>7.$$
$$\left(\log_6\frac{x}{216}\right)^2+8\log_6 x-12<0$$
Так как $$\log_6\frac{x}{216}=\log_6 x-3,$$ то
$$\left(\log_6 x-3\right)^2+8\log_6 x-12<0.$$
Пусть $$t=\log_6 x.$$ Тогда
$$t^2-6t+9+8t-12<0,$$
$$t^2+2t-3<0,$$
$$\left(t+3\right)\left(t-1\right)<0.$$
Следовательно, $$-3<t<1,$$ то есть
$$\frac{1}{216}<x<6.$$
$$\frac{\left(\log_3 x\right)^2-6\log_3 x+8}{\log_3 x-1}>0$$
Пусть $$t=\log_3 x.$$ Тогда
$$\frac{t^2-6t+8}{t-1}>0,$$
$$\frac{\left(t-2\right)\left(t-4\right)}{t-1}>0.$$
Исследуем знаки выражения. Критические точки: $$t=1,2,4.$$
Получаем
$$1<t\le 2 \quad \text{или} \quad t\ge 4.$$
Возвращаясь к $$x$$, имеем
$$3<x\le 9 \quad \text{или} \quad x\ge 81.$$
$$\log_{0,5}x-2\log_x 0,5<1$$
Пусть $$t=\log_{0,5}x.$$ Тогда
$$\log_x 0,5=\frac{1}{\log_{0,5}x}=\frac{1}{t},$$
и неравенство принимает вид
$$t-\frac{2}{t}-1<0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{t^2-t-2}{t}<0,$$
$$\frac{(t-2)(t+1)}{t}<0.$$
Отсюда
$$-1<t<0 \quad \text{или} \quad t>2.$$
Так как $$t=\log_{0,5}x,$$ а основание $$0,5<1,$$ получаем
$$-1<\log_{0,5}x<0 \Rightarrow 1<x<2,$$
$$\log_{0,5}x>2 \Rightarrow 0<x<0,25.$$