Упр.7.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) lg x < lg 4; 4) log_16 (4x-6) < log_16 10; 2) log_(5/6) x > log_(5/6) (6/7); 5) log_(8/11) (2-x) < log_(8/11) 2; 3) log_12 (x-8) > log_12 3; 6) log_0,9 (2x+1) > log_0,9 5.

1. Так как основание $$10>1$$, знак неравенства сохраняется:

   $$\lg x<\lg 4 \;\Rightarrow\; x<4.$$

   С учётом области определения $$x>0$$ получаем:

   $$x\in(0;4).$$

2. Основание $$\frac56<1$$, значит при переходе к аргументам знак неравенства меняется:

   $$\log_{\frac56}x>\log_{\frac56}\frac67 \;\Rightarrow\; x<\frac67.$$

   С учётом $$x>0$$:

   $$x\in\left(0;\frac67\right).$$

3. Так как $$12>1$$, знак неравенства сохраняется:

   $$\log_{12}(x-8)>\log_{12}3 \;\Rightarrow\; x-8>3.$$

   Тогда

   $$x>11.$$

   С учётом области определения $$x-8>0$$, получаем:

   $$x\in(11;+\infty).$$

4. Основание $$16>1$$, поэтому знак неравенства сохраняется:

   $$\log_{16}(4x-6)<\log_{16}10 \;\Rightarrow\; 4x-6<10.$$

   Кроме того,

   $$4x-6>0.$$

   Решаем систему:

   $$
   \begin{cases}
   4x<16,\\
   4x>6
   \end{cases}
   \Rightarrow
   \begin{cases}
   x<4,\\
   x>\frac32
   \end{cases}
   $$

   Следовательно,

   $$x\in\left(\frac32;4\right).$$

5. Основание $$\frac{8}{11}<1$$, значит знак неравенства меняется:

   $$\log_{\frac{8}{11}}(2-x)<\log_{\frac{8}{11}}2 \;\Rightarrow\; 2-x>2.$$

   Тогда

   $$x<0.$$

   С учётом области определения $$2-x>0$$ получаем:

   $$x\in(-\infty;0).$$

6. Основание $$0{,}9<1$$, поэтому знак неравенства меняется:

   $$\log_{0{,}9}(2x+1)>\log_{0{,}9}5 \;\Rightarrow\; 2x+1<5.$$

   Кроме того,

   $$2x+1>0.$$

   Решаем систему:

   $$
   \begin{cases}
   2x<4,\\
   2x>-1
   \end{cases}
   \Rightarrow
   \begin{cases}
   x<2,\\
   x>-\frac12
   \end{cases}
   $$

   Следовательно,

   $$x\in\left(-\frac12;2\right).$$

Ответ

1) $$\left(0;4\right)$$; 2) $$\left(0;\frac67\right)$$; 3) $$\left(11;+\infty\right)$$; 4) $$\left(\frac32;4\right)$$; 5) $$(-\infty;0)$$; 6) $$\left(-\frac12;2\right).$$