Упр.7.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (log_2 (4x))^2+2log_2 x-11 < 0; 3) (lg^2 x+lg x-6)/lg x > 0;
2) (log_3 (27x))^2+3log_3 x-19 > 0; 4) 2log_5 x-log_x 5 < 1.

Подробный ответ

$$\left(\log_2(4x)\right)^2+2\log_2 x-11<0$$
$$\left(2+\log_2 x\right)^2+2\log_2 x-11<0$$
$$4+4\log_2 x+\left(\log_2 x\right)^2+2\log_2 x-11<0$$
$$\left(\log_2 x\right)^2+6\log_2 x-7<0$$
Пусть $$t=\log_2 x$$. Тогда
$$t^2+6t-7<0$$
$$\left(t+7\right)\left(t-1\right)<0$$
$$-7<t<1$$
$$-7<\log_2 x<1$$
$$\frac{1}{128}<x<2$$
$$\left(\log_3(27x)\right)^2+3\log_3 x-19>0$$
$$\left(3+\log_3 x\right)^2+3\log_3 x-19>0$$
$$9+6\log_3 x+\left(\log_3 x\right)^2+3\log_3 x-19>0$$
$$\left(\log_3 x\right)^2+9\log_3 x-10>0$$
Пусть $$t=\log_3 x$$. Тогда
$$t^2+9t-10>0$$
$$\left(t+10\right)\left(t-1\right)>0$$
$$t<-10 \quad \text{или} \quad t>1$$
$$\log_3 x<-10 \quad \text{или} \quad \log_3 x>1$$
$$0<x<3^{-10} \quad \text{или} \quad x>3$$
$$\frac{\lg^2 x+\lg x-6}{\lg x}\ge 0$$
Пусть $$t=\lg x$$, тогда $$t\ne 0$$ и
$$\frac{t^2+t-6}{t}\ge 0$$
$$\frac{(t+3)(t-2)}{t}\ge 0$$
Критические точки: $$t=-3,\;0,\;2$$.
Решаем методом интервалов:
$$t\in[-3,0)\cup[2,+\infty)$$
Возвращаясь к $$x$$, получаем
$$10^{-3}\le x<1 \quad \text{или} \quad x\ge 100$$
$$2\log_5 x-\log_x 5<1$$
Область определения: $$x>0,\;x\ne 1$$.
Так как $$\log_x 5=\dfrac{1}{\log_5 x}$$, положим $$t=\log_5 x$$. Тогда $$t\ne 0$$ и
$$2t-\frac{1}{t}<1$$
$$2t-\frac{1}{t}-1<0$$
$$\frac{2t^2-t-1}{t}<0$$
$$\frac{(2t+1)(t-1)}{t}<0$$
Решаем методом интервалов:
$$t\in(-\infty,-\tfrac12)\cup(0,1)$$
Переходим к $$x$$:
$$0<x<5^{-1/2} \quad \text{или} \quad 1<x<5$$
$$0<x<\frac{1}{\sqrt5} \quad \text{или} \quad 1<x<5$$