Упр.7.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (log_0,5 x)^2 > 9; 3) 2(log_4 x)^2-log_4 x-1 < 0; 2) lg^2 x-2lg x-3 > 0; 4) (log_0,2 x)^2-log_0,2 x-2 < 0.

1. $$\left(\log_{0,5} x\right)^2>9$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\left(\log_{0,5} x\right)^2-9>0$$

   $$\left(\log_{0,5} x-3\right)\left(\log_{0,5} x+3\right)>0$$

   Произведение положительно, когда

   $$\log_{0,5} x<-3 \quad \text{или} \quad \log_{0,5} x>3.$$

   Так как основание $$0,5<1,$$ знак неравенства при переходе к $$x$$ меняется:

   $$x>8 \quad \text{или} \quad 0<x<\frac18.$$

2. $$\lg^2 x-2\lg x-3>0$$

   Положим $$t=\lg x.$$ Тогда

   $$t^2-2t-3>0$$

   $$\left(t-3\right)\left(t+1\right)>0$$

   Отсюда

   $$t<-1 \quad \text{или} \quad t>3.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем:

   $$0<x<0,1 \quad \text{или} \quad x>1000.$$

3. $$2\left(\log_4 x\right)^2-\log_4 x-1<0$$

   Положим $$t=\log_4 x.$$ Тогда

   $$2t^2-t-1<0$$

   $$\left(2t+1\right)\left(t-1\right)<0$$

   Следовательно,

   $$-\frac12<t<1.$$

   Значит,

   $$-\frac12<\log_4 x<1,$$

   откуда

   $$\frac12<x<4.$$

4. $$\left(\log_{0,2} x\right)^2-\log_{0,2} x-2<0$$

   Положим $$t=\log_{0,2} x.$$ Тогда

   $$t^2-t-2<0$$

   $$\left(t+1\right)\left(t-2\right)<0$$

   Отсюда

   $$-1<t<2.$$

   Так как $$0,2=\frac15<1,$$ получаем

   $$-1<\log_{0,2} x<2,$$

   то есть

   $$0,04<x<5.$$

Ответ

1) $$\left(0;\frac18\right)\cup[8;+\infty)$$; 2) $$\left(0;0,1\right)\cup(1000;+\infty)$$; 3) $$\left(\frac12;4\right)$$; 4) $$\left(0,04;5\right).$$