Упр.7.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (log_0,2 x)^2 < 1; 4) (log_(1/4) x)^2+2log_(1/4) x-8 < 0; 2) (log_(1/3) x)^2 > 4; 5) (log_2 x)^2-5log_2 x+6 > 0;
3) lg^2 x+3lg x-4 < 0; 6) 2(log_(1/9) x)^2-5log_(1/9) x+2 > 0.

1. $$\left(\log_{0,2} x\right)^2 \le 1$$
   $$\left(\log_{0,2} x\right)^2-1 \le 0$$
   $$\left(\log_{0,2} x-1\right)\left(\log_{0,2} x+1\right)\le 0$$
   Так как основание $$0,2<1$$, получаем $$-1\le \log_{0,2} x \le 1.$$ Тогда $$0,2^1 \le x \le 0,2^{-1},$$ $$\frac15 \le x \le 5.$$
2. $$\left(\log_{\frac13} x\right)^2 \ge 4$$
   $$\left(\log_{\frac13} x\right)^2-4 \ge 0$$
   $$\left(\log_{\frac13} x-2\right)\left(\log_{\frac13} x+2\right)\ge 0$$
   Отсюда
   $$\log_{\frac13} x \le -2 \quad \text{или} \quad \log_{\frac13} x \ge 2.$$
   Так как основание $$\frac13<1$$, имеем $$x \ge 9 \quad \text{или} \quad 0
3. $$\lg^2 x+3\lg x-4<0$$ Обозначим $$t=\lg x$$. Тогда $$t^2+3t-4<0$$ $$\left(t+4\right)\left(t-1\right)<0.$$ Следовательно, $$-4
4. $$\left(\log_{\frac14} x\right)^2+2\log_{\frac14} x-8<0$$ Обозначим $$t=\log_{\frac14} x$$. Тогда $$t^2+2t-8<0$$ $$\left(t+4\right)\left(t-2\right)<0,$$ откуда $$-4
5. $$\left(\log_2 x\right)^2-5\log_2 x+6>0$$
   Обозначим $$t=\log_2 x$$. Тогда
   $$t^2-5t+6>0$$
   $$\left(t-2\right)\left(t-3\right)>0.$$
   Значит,
   $$t<2 \quad \text{или} \quad t>3,$$
   то есть
   $$08.$$
6. $$2\left(\log_{\frac19} x\right)^2-5\log_{\frac19} x+2>0$$
   Обозначим $$t=\log_{\frac19} x$$. Тогда
   $$2t^2-5t+2>0$$
   $$\left(2t-1\right)\left(t-2\right)>0.$$
   Отсюда
   $$t<\frac12 \quad \text{или} \quad t>2.$$
   Так как основание $$\frac19<1$$, имеем $$x>\frac13 \quad \text{или} \quad 0

Ответ

1) $$\left[\frac15;5\right]$$;
2) $$\left(0;\frac19\right]\cup[9;+\infty)$$;
3) $$\left(10^{-4};10\right)$$;
4) $$\left(\frac1{16};256\right)$$;
5) $$\left(0;4\right)\cup[8;+\infty)$$;
6) $$\left(0;\frac1{81}\right]\cup\left(\frac13;+\infty\right)$$.