Упр.7.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) log_2 (-x)+log_2 (1-x) < 1;
2) log_0,2 (x-1)+log_0,2 (x+3) > -1;
3) log_3 (x-2)+log_3 (x-10) > 2;
4) log_7 x+log_7 (3x-8) > 1+2log_7 2.
$$\log_2(-x)+\log_2(1-x)\le 1$$
Объединим логарифмы:
$$\log_2\bigl((-x)(1-x)\bigr)\le \log_2 2$$
Так как основание $$2>1$$, получаем:
$$-x(1-x)\le 2$$
$$x^2-x-2\le 0$$
$$ (x+1)(x-2)\le 0 $$
Отсюда:
$$-1\le x\le 2$$
Учитываем область определения:
$$-x>0,\quad 1-x>0$$
$$x<0$$
Пересечение даёт:
$$x\in[-1;0)$$
$$\log_{0,2}(x-1)+\log_{0,2}(x+3)\ge -1$$
Так как $$-1=\log_{0,2}5$$, имеем:
$$\log_{0,2}\bigl((x-1)(x+3)\bigr)\ge \log_{0,2}5$$
Основание $$0,2<1$$, поэтому знак неравенства меняется:
$$ (x-1)(x+3)\le 5 $$
$$x^2+2x-8\le 0$$
$$ (x+4)(x-2)\le 0 $$
$$-4\le x\le 2$$
Область определения:
$$x-1>0,\quad x+3>0$$
$$x>1$$
Пересечение:
$$x\in(1;2]$$
$$\log_3(x-2)+\log_3(x-10)\ge 2$$
$$\log_3\bigl((x-2)(x-10)\bigr)\ge \log_3 9$$
Так как $$3>1$$, получаем:
$$ (x-2)(x-10)\ge 9 $$
$$x^2-12x+20\ge 9$$
$$x^2-12x+11\ge 0$$
$$ (x-1)(x-11)\ge 0 $$
Отсюда:
$$x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 11$$
Область определения:
$$x-2>0,\quad x-10>0$$
$$x>10$$
Пересечение:
$$x\in[11;+\infty)$$
$$\log_7 x+\log_7(3x-8)\ge 1+2\log_7 2$$
Преобразуем правую часть:
$$1+2\log_7 2=\log_7 7+\log_7 4=\log_7 28$$
Тогда:
$$\log_7\bigl(x(3x-8)\bigr)\ge \log_7 28$$
Так как $$7>1$$, получаем:
$$x(3x-8)\ge 28$$
$$3x^2-8x-28\ge 0$$
$$D= (-8)^2-4\cdot 3\cdot(-28)=64+336=400$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 20}{6}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=\frac{14}{3}$$
Тогда:
$$ (x+2)\left(x-\frac{14}{3}\right)\ge 0 $$
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge \frac{14}{3}$$
Область определения:
$$x>0,\quad 3x-8>0$$
$$x>\frac{8}{3}$$
Пересечение:
$$x\in\left[\frac{14}{3};+\infty\right)$$
Ответ
1) $$[-1;0)$$; 2) $$(1;2]$$; 3) $$[11;+\infty)$$; 4) $$\left[\frac{14}{3};+\infty\right)$$.
