Упр.7.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) lg x+lg (x-3) > 1;
2) log_(1/3) (x+2)+log_(1/3) x < -1; 3) log_2 x+log_2 (x+4) < 5; 4) log_0,1 (x-5)+log_0,1 (x-2) > -1;
5) log_6 (5x+8)+log_6 (x+1) < 1-log_6 3; 6) log_3 (1-x)+log_3 (-5x-2) > 2log_3 2+1.

1. $$\lg x+\lg(x-3)>1$$
   $$\lg\bigl(x(x-3)\bigr)>\lg 10$$
   $$x(x-3)>10$$
   $$x^2-3x-10>0$$
   $$\left(x+2\right)\left(x-5\right)>0$$
   $$x<-2 \text{ или } x>5$$
   С учётом области определения:
   $$x>0,\quad x-3>0 \Rightarrow x>3$$
   Получаем:
   $$x>5$$
2. $$\log_{\frac13}(x+2)+\log_{\frac13}x<-1$$ $$\log_{\frac13}\bigl(x(x+2)\bigr)<\log_{\frac13}\frac13$$ Так как основание $$\frac13<1,$$ знак неравенства меняется: $$x(x+2)>\frac13$$
   $$3x^2+6x-1>0$$
   Корни:
   $$x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{36+12}}{6}=\frac{-3\pm2\sqrt3}{3}$$
   Тогда
   $$x<\frac{-3-2\sqrt3}{3}\ \text{или}\ x>\frac{-3+2\sqrt3}{3}$$
   С учётом области определения $$x>0$$ получаем:
   $$x>\frac{-3+2\sqrt3}{3}$$
3. $$\log_2 x+\log_2(x+4)<5$$ $$\log_2\bigl(x(x+4)\bigr)<\log_2 32$$ $$x(x+4)<32$$ $$x^2+4x-32<0$$ $$\left(x+8\right)\left(x-4\right)<0$$ $$-80$$:
   $$0
4. $$\log_{0.1}(x-5)+\log_{0.1}(x-2)>-1$$
   $$\log_{0.1}\bigl((x-5)(x-2)\bigr)>\log_{0.1}10$$
   Так как основание $$0.1<1,$$ знак неравенства меняется: $$\left(x-5\right)\left(x-2\right)<10$$ $$x^2-7x<0$$ $$x(x-7)<0$$ $$05,\quad x>2 \Rightarrow x>5$$
   Получаем:
   $$5
5. $$\log_6(5x+8)+\log_6(x+1)<1-\log_6 3$$ $$\log_6\bigl((5x+8)(x+1)\bigr)<\log_6 2-\log_6 3$$ $$\log_6\bigl((5x+8)(x+1)\bigr)<\log_6\frac23$$ $$\left(5x+8\right)\left(x+1\right)<\frac23$$ $$15x^2+27x+22<0$$ Дискриминант: $$D=27^2-4\cdot15\cdot22=729-1320<0$$ При старшем коэффициенте $$15>0$$ выражение всегда положительно, значит неравенство решений не имеет.
6. $$\log_3(1-x)+\log_3(-5x-2)>2\log_3 2+1$$
   $$\log_3\bigl((1-x)(-5x-2)\bigr)>\log_3 4+\log_3 3$$
   $$\log_3\bigl((1-x)(-5x-2)\bigr)>\log_3 12$$
   $$\left(1-x\right)\left(-5x-2\right)>12$$
   $$5x^2-3x-14>0$$
   $$\left(5x+7\right)\left(x-2\right)>0$$
   $$x<-\frac75 \text{ или } x>2$$
   С учётом области определения:
   $$1-x>0,\quad -5x-2>0$$
   $$x<1,\quad x<-\frac25$$ Значит, подходит только $$x<-\frac75$$

Ответ

1) $$\left(5;+\infty\right)$$; 2) $$\left(\frac{-3+2\sqrt3}{3};+\infty\right)$$; 3) $$\left(0;4\right)$$; 4) $$\left(5;7\right)$$; 5) решений нет; 6) $$\left(-\infty;-\frac75\right)$$.