Упр.7.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) log_(2/3) (6-2x) < log_(2/3) (x^2-2x-3); 2) log_0,1 (x^2-3x-4) > log_0,1 (x+1);
3) 2log_2 (x+5) < 3+log_2 (11+x); 4) lg (2x^2-9x+4) < 2lg (x+2).

Подробный ответ

$$\log_{\frac23}(6-2x)<\log_{\frac23}(x^2-2x-3)$$
Так как $$0<\frac23<1,$$ логарифмическая функция убывает, значит
$$6-2x>x^2-2x-3.$$
Получаем
$$x^2-9<0,$$
$$ (x+3)(x-3)<0,$$
$$-3<x<3.$$
Область определения:
$$x^2-2x-3>0,$$
$$ (x+1)(x-3)>0,$$
$$x<-1 \text{ или } x>3.$$
Пересекаем с найденным промежутком:
$$(-3;3)\cap\bigl((-\infty;-1)\cup(3;+\infty)\bigr)=(-3;-1).$$
$$\log_{0{,}1}(x^2-3x-4)>\log_{0{,}1}(x+1)$$
Так как $$0<0{,}1<1,$$ логарифмическая функция убывает, значит
$$x^2-3x-4<x+1.$$
Тогда
$$x^2-4x-5<0,$$
$$ (x+1)(x-5)<0,$$
$$-1<x<5.$$
Область определения:
$$x^2-3x-4>0,$$
$$ (x+1)(x-4)>0,$$
$$x<-1 \text{ или } x>4.$$
С учётом ОДЗ:
$$(-1;5)\cap\bigl((-\infty;-1)\cup(4;+\infty)\bigr)=(4;5).$$
$$2\log_2(x+5)<3+\log_2(11+x)$$
Преобразуем:
$$\log_2(x+5)^2<\log_2\bigl(8(11+x)\bigr).$$
Так как основание $$2>1,$$ получаем
$$ (x+5)^2<8(11+x).$$
$$x^2+10x+25<88+8x,$$
$$x^2+2x-63<0,$$
$$ (x+9)(x-7)<0,$$
$$-9<x<7.$$
Область определения:
$$x+5>0,\quad x+11>0,$$
то есть $$x>-5.$$
Итак,
$$(-9;7)\cap(-5;+\infty)=(-5;7).$$
$$\lg(2x^2-9x+4)<2\lg(x+2)$$
Преобразуем правую часть:
$$\lg(2x^2-9x+4)<\lg(x+2)^2.$$
Так как основание десятичного логарифма больше 1, получаем
$$2x^2-9x+4<(x+2)^2.$$
$$2x^2-9x+4<x^2+4x+4,$$
$$x^2-13x<0,$$
$$x(x-13)<0,$$
$$0<x<13.$$
Область определения:
$$2x^2-9x+4>0,\quad x+2>0.$$
Решим неравенство $$2x^2-9x+4>0.$$
$$D=9^2-4\cdot2\cdot4=49,$$
$$x_1=\frac{9-7}{4}=\frac12,\quad x_2=\frac{9+7}{4}=4.$$
Тогда
$$2x^2-9x+4>0 \iff x<\frac12 \text{ или } x>4.$$
С учётом $$x>-2$$ получаем
$$x<\frac12 \text{ или } x>4.$$
Пересекаем с $$0<x<13$$:
$$\left(0;\frac12\right)\cup(4;13).$$