Упр.7.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) log_0,3 (x^2+x-12) > log_0,3 (6x-6);
2) lg (x^2-x) < lg (3x-3);
3) log_0,8 (1-x^2) > log_0,8 (x^2+5x-2);
4) 2log_2 (2x+7) > 5+log_2 (x+2);
5) log_3 (x^2+2x-3) < log_3 (x+9);
6) log_(1/7) (2x^2+3x+1) > 2log_(1/7) (1-x).
Так как основание $$0{,}3<1,$$ то при сравнении логарифмов знак неравенства меняется:
$$x^2+x-12<6x-6.$$
$$x^2-5x-6<0,$$
$$ (x+1)(x-6)<0,$$
откуда $$-1<x<6.$$
Область определения:
$$x^2+x-12>0 \;\Rightarrow\; (x+4)(x-3)>0,$$
$$x<-4 \;\text{или}\; x>3,$$
$$6x-6>0 \;\Rightarrow\; x>1.$$
Пересечение условий:
$$x\in(3;6).$$
Так как основание десятичного логарифма больше 1, знак неравенства сохраняется:
$$x^2-x<3x-3.$$
$$x^2-4x+3<0,$$
$$ (x-1)(x-3)<0,$$
откуда $$1<x<3.$$
Область определения:
$$x^2-x>0 \;\Rightarrow\; x(x-1)>0 \;\Rightarrow\; x<0 \;\text{или}\; x>1.$$
Пересечение условий:
$$x\in(1;3).$$
Так как основание $$0{,}8<1,$$ то знак неравенства меняется:
$$1-x^2<x^2+5x-2.$$
$$2x^2+5x-3>0,$$
$$ (2x-1)(x+3)>0,$$
откуда $$x<-3 \;\text{или}\; x>\frac12.$$
Область определения:
$$1-x^2>0 \;\Rightarrow\; -1<x<1,$$
$$x^2+5x-2>0.$$
Пересечение с найденным решением даёт:
$$x\in\left(\frac12;1\right).$$
Преобразуем неравенство:
$$2\log_2(2x+7)>5+\log_2(x+2),$$
$$\log_2(2x+7)^2>\log_2\bigl(32(x+2)\bigr).$$
Так как основание больше 1, получаем:
$$ (2x+7)^2>32(x+2).$$
$$4x^2+28x+49>32x+64,$$
$$4x^2-4x-15>0,$$
$$ (2x+3)(2x-5)>0,$$
откуда $$x<-\frac32 \;\text{или}\; x>\frac52.$$
Область определения:
$$2x+7>0,\quad x+2>0,$$
то есть $$x>-2.$$
Итак,
$$x\in\left(-2;-\frac32\right]\cup\left[\frac52;+\infty\right).$$
Так как основание $$3>1,$$ знак неравенства сохраняется:
$$x^2+2x-3<x+9.$$
$$x^2+x-12<0,$$
$$ (x+4)(x-3)<0,$$
откуда $$-4<x<3.$$
Область определения:
$$x^2+2x-3>0 \;\Rightarrow\; (x+3)(x-1)>0,$$
$$x<-3 \;\text{или}\; x>1.$$
Пересечение условий:
$$x\in[-4;-3)\cup(1;3].$$
Так как основание $$\frac17<1,$$ знак неравенства меняется:
$$2x^2+3x+1<(1-x)^2.$$
$$2x^2+3x+1<1-2x+x^2,$$
$$x^2+5x<0,$$
$$x(x+5)<0,$$
откуда $$-5<x<0.$$
Область определения:
$$2x^2+3x+1>0,\quad 1-x>0.$$
$$2x^2+3x+1=(2x+1)(x+1),$$
$$ (2x+1)(x+1)>0 \;\Rightarrow\; x<-1 \;\text{или}\; x>-\frac12,$$
$$x<1.$$
Пересечение с найденным решением:
$$x\in\left[-5;-1\right)\cup\left(-\frac12;0\right).$$
Ответ
1) $$\left(3;6\right)$$; 2) $$\left(1;3\right)$$; 3) $$\left(\frac12;1\right)$$; 4) $$\left(-2;-\frac32\right]\cup\left[\frac52;+\infty\right)$$; 5) $$\left[-4;-3\right)\cup\left(1;3\right]$$; 6) $$\left[-5;-1\right)\cup\left(-\frac12;0\right).$$
