Упр.7.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) log_(1/3) (x^2-5x+7) > 0; 4) log_0,3 (x^2-2x+1) > 0;
2) log_9 (x^2-6x+8) < 0,5; 5) log_4 ((3x-1)/(x-1)) < 1;
3) log_0,5 (x^2+3x) > -2; 6) log_(1/2) ((2x-1)/(3x+1)) > 1.
$$\log_{\frac13}(x^2-5x+7)>0$$
Так как $$0<\frac13<1,$$ то
$$0<x^2-5x+7<1.$$
Рассмотрим правую часть:
$$x^2-5x+7<1$$
$$x^2-5x+6<0$$
$$ (x-2)(x-3)<0,$$
откуда $$2<x<3.$$
Проверим область определения:
$$x^2-5x+7>0.$$
Дискриминант:
$$D=25-28=-3<0,$$
а старший коэффициент положителен, значит $$x^2-5x+7>0$$ при всех $$x\in\mathbb R.$$
Следовательно, решение:
$$2<x<3.$$
$$\log_9(x^2-6x+8)<0{,}5$$
Так как $$9>1,$$ то
$$x^2-6x+8<9^{0{,}5}=3.$$
Получаем:
$$x^2-6x+5<0$$
$$ (x-1)(x-5)<0,$$
откуда $$1<x<5.$$
Область определения:
$$x^2-6x+8>0$$
$$ (x-2)(x-4)>0,$$
значит $$x<2$$ или $$x>4.$$
Пересечение множеств:
$$x\in[1;2)\cup(4;5].$$
$$\log_{0{,}5}(x^2+3x)>-2$$
Так как $$0<0{,}5<1,$$ то знак неравенства меняется:
$$x^2+3x<(0{,}5)^{-2}=4.$$
Получаем:
$$x^2+3x-4<0$$
$$ (x+4)(x-1)<0,$$
откуда $$-4<x<1.$$
Область определения:
$$x^2+3x>0$$
$$x(x+3)>0,$$
значит $$x<-3$$ или $$x>0.$$
Пересечение:
$$x\in[-4;-3)\cup(0;1).$$
$$\log_{0{,}3}(x^2-2x+1)\ge 0$$
Так как $$0<0{,}3<1,$$ то
$$0<x^2-2x+1\le 1.$$
Имеем:
$$x^2-2x+1\le 1$$
$$x^2-2x\le 0$$
$$x(x-2)\le 0,$$
откуда $$0\le x\le 2.$$
Область определения:
$$x^2-2x+1>0$$
$$ (x-1)^2>0,$$
значит $$x\ne 1.$$
Следовательно,
$$x\in[0;1)\cup(1;2].$$
$$\log_4\frac{3x-1}{x-1}\le 1$$
Так как $$4>1,$$ то
$$\frac{3x-1}{x-1}\le 4.$$
Приведём к одной дроби:
$$\frac{3x-1-4(x-1)}{x-1}\le 0$$
$$\frac{3-x}{x-1}\le 0$$
$$\frac{x-3}{x-1}\ge 0.$$
Отсюда
$$x<1 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$
Область определения:
$$\frac{3x-1}{x-1}>0$$
$$x<\frac13 \quad \text{или} \quad x>1.$$
Пересечение даёт:
$$x\in\left(-\infty;\frac13\right)\cup[3;+\infty).$$
$$\log_{\frac12}\frac{2x-1}{3x+1}>1$$
Так как $$0<\frac12<1,$$ то знак неравенства меняется:
$$\frac{2x-1}{3x+1}<\frac12.$$
Приведём к одной дроби:
$$\frac{2(2x-1)-(3x+1)}{2(3x+1)}<0$$
$$\frac{x-3}{3x+1}<0.$$
Отсюда
$$-\frac13<x<3.$$
Область определения:
$$\frac{2x-1}{3x+1}>0$$
$$x<-\frac13 \quad \text{или} \quad x>\frac12.$$
Пересечение множеств:
$$x\in\left(\frac12;3\right).$$
Ответ
1) $$\left(2;3\right)$$; 2) $$[1;2)\cup(4;5]$$; 3) $$[-4;-3)\cup(0;1)$$; 4) $$[0;1)\cup(1;2]$$; 5) $$\left(-\infty;\frac13\right)\cup[3;+\infty)$$; 6) $$\left(\frac12;3\right).$$
