Упр.7.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) log_8 (x^2-4x+3) < 1; 5) log_2 ((4x-5)/(4x+7)) > 0;
2) log_0,5 (x^2+x) > -1; 6) lg ((x^2-1)/(x-2)^2) > 0;
3) log_0,7 (x^2+10x+25) > 0; 7) log_3 ((2x+5)/(x+1)) < 1; 4) log_2 (x62-3x) < 2; 8) log_4 ((3x-1)/x) < 0,5.

Подробный ответ

$$\log_8(x^2-4x+3)\le 1$$
Так как $$8>1$$, получаем
$$x^2-4x+3\le 8,$$
$$x^2-4x-5\le 0.$$
$$x^2-4x-5=(x+1)(x-5),$$
откуда
$$-1\le x\le 5.$$
Область определения:
$$x^2-4x+3>0,$$
$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3),$$
значит
$$x<1 \text{ или } x>3.$$
Пересечение множеств:
$$[-1;1)\cup(3;5].$$
$$\log_{0,5}(x^2+x)>-1$$
Так как $$0<0,5<1$$, знак неравенства меняется:
$$x^2+x<2,$$
$$x^2+x-2<0,$$
$$ (x+2)(x-1)<0,$$
откуда
$$-2<x<1.$$
Область определения:
$$x^2+x>0,$$
$$x(x+1)>0,$$
значит
$$x<-1 \text{ или } x>0.$$
Пересечение:
$$(-2;-1)\cup(0;1).$$
$$\log_{0,7}(x^2+10x+25)>0$$
Так как $$0<0,7<1$$, получаем
$$x^2+10x+25<1,$$
$$x^2+10x+24<0,$$
$$ (x+6)(x+4)<0,$$
откуда
$$-6<x<-4.$$
Область определения:
$$x^2+10x+25>0,$$
$$ (x+5)^2>0,$$
значит
$$x\ne -5.$$
Ответ:
$$(-6;-5)\cup(-5;-4).$$
$$\log_2(x^2-3x)\le 2$$
Так как $$2>1$$, имеем
$$x^2-3x\le 4,$$
$$x^2-3x-4\le 0,$$
$$ (x+1)(x-4)\le 0,$$
откуда
$$-1\le x\le 4.$$
Область определения:
$$x^2-3x>0,$$
$$x(x-3)>0,$$
значит
$$x<0 \text{ или } x>3.$$
Пересечение:
$$[-1;0)\cup(3;4].$$
$$\log_2\frac{4x-5}{4x+7}>0$$
Так как $$2>1$$, получаем
$$\frac{4x-5}{4x+7}>1,$$
$$\frac{(4x-5)-(4x+7)}{4x+7}>0,$$
$$\frac{-12}{4x+7}>0.$$
Числитель отрицателен, значит
$$4x+7<0,$$
$$x<-\frac{7}{4}.$$
Ответ:
$$(-\infty;-\tfrac{7}{4}).$$
$$\lg\frac{x^2-1}{(x-2)^2}>0$$
Так как основание логарифма равно $$10>1$$, имеем
$$\frac{x^2-1}{(x-2)^2}>1,$$
$$\frac{(x^2-1)-(x^2-4x+4)}{(x-2)^2}>0,$$
$$\frac{4x-5}{(x-2)^2}>0.$$
Так как $$ (x-2)^2>0 $$ при $$x\ne 2$$, то
$$4x-5>0,\quad x\ne 2.$$
Следовательно,
$$x>\frac54,\quad x\ne 2.$$
Ответ:
$$\left(\frac54;2\right)\cup(2;+\infty).$$
$$\log_3\frac{2x+5}{x+1}\le 1$$
Так как $$3>1$$, получаем
$$\frac{2x+5}{x+1}\le 3,$$
$$\frac{(2x+5)-(3x+3)}{x+1}\le 0,$$
$$\frac{2-x}{x+1}\le 0,$$
$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0.$$
Отсюда
$$x<-1 \text{ или } x\ge 2.$$
Область определения:
$$\frac{2x+5}{x+1}>0,$$
$$x<-\frac52 \text{ или } x>-1.$$
Пересечение:
$$(-\infty;-\tfrac52)\cup[2;+\infty).$$
$$\log_4\frac{3x-1}{x}\le 0,5$$
Так как $$4>1$$, имеем
$$\frac{3x-1}{x}\le 4^{0,5}=2,$$
$$\frac{3x-1-2x}{x}\le 0,$$
$$\frac{x-1}{x}\le 0.$$
Отсюда
$$0<x\le 1.$$
Область определения:
$$\frac{3x-1}{x}>0,$$
$$x<0 \text{ или } x>\frac13.$$
Пересечение:
$$\left(\frac13;1\right].$$