Упр.7.10 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) log_(1/6) (x+2) < 0; 3) log_0,3 (4x-3) > log_0,3 (x+3);
2) log_(1/2) (6-x) > -2; 4) log_(1/3) (x^2-2x+1) > -1.

1. $$\log_{\frac16}(x+2)\le 0$$

   Так как основание $$\frac16<1$$, то логарифмическая функция убывает, значит

   $$x+2\ge 1.$$

   С учётом области определения $$x+2>0$$ получаем

   $$x\ge -1.$$

   Наименьшее целое решение: $$-1$$.

2. $$\log_{\frac12}(6-x)>-2$$

   Так как основание $$\frac12<1$$, то знак неравенства меняется:

   $$6-x<\left(\frac12\right)^{-2}=4.$$

   При этом область определения:

   $$6-x>0.$$

   Итак,

   $$0<6-x<4,$$

   откуда

   $$2<x<6.$$

   Наименьшее целое решение: $$3$$.

3. $$\log_{0{,}3}(4x-3)>\log_{0{,}3}(x+3)$$

   Так как основание $$0{,}3<1$$, то при сравнении логарифмов знак неравенства меняется:

   $$4x-3<x+3.$$

   Одновременно должны выполняться условия области определения:

   $$4x-3>0,\qquad x+3>0.$$

   Решаем:

   $$3x<6,\qquad x>\frac34.$$

   Получаем

   $$\frac34<x<2.$$

   Наименьшее целое решение: $$1$$.

4. $$\log_{\frac13}(x^2-2x+1)>-1$$

   Так как основание $$\frac13<1$$, то знак неравенства меняется:

   $$x^2-2x+1<\left(\frac13\right)^{-1}=3.$$

   С учётом области определения:

   $$x^2-2x+1>0.$$

   Имеем

   $$x^2-2x-2<0,$$

   то есть

   $$1-\sqrt3<x<1+\sqrt3.$$

   Но $$x\ne 1$$, так как при $$x=1$$ аргумент логарифма равен нулю.

   Наименьшее целое решение: $$0$$.

Ответ

1) $$-1$$; 2) $$3$$; 3) $$1$$; 4) $$0$$.