Упр.6.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) log_2 (3^(5x-3)+1)=2; 3) log_2 (2^x+7)=3-x;
2) log_3 (3^(x-1)+6)=x; 4) log_6 (6^(-x)-5)=x+1.

1. $$\log_2(3^{5x-3}+1)=2$$
   $$3^{5x-3}+1=2^2=4$$
   $$3^{5x-3}=3$$
   $$5x-3=1$$
   $$5x=4$$
   $$x=\frac45$$

2. $$\log_3(3^{x-1}+6)=x$$
   $$3^{x-1}+6=3^x$$
   $$\frac{1}{3}\cdot 3^x+6=3^x$$
   $$3^x-\frac{1}{3}\cdot 3^x=6$$
   $$\frac{2}{3}\cdot 3^x=6$$
   $$3^x=9$$
   $$x=2$$

3. $$\log_2(2^x+7)=3-x$$
   $$2^x+7=2^{3-x}$$
   $$2^x+7=\frac{8}{2^x}$$
   $$2^{2x}+7\cdot 2^x-8=0$$
   Обозначим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и
   $$t^2+7t-8=0$$
   $$D=7^2+4\cdot 8=81$$
   $$t_1=\frac{-7-9}{2}=-8,\quad t_2=\frac{-7+9}{2}=1$$
   Так как $$t>0$$, то $$t=1$$.
   $$2^x=1$$
   $$x=0$$

4. $$\log_6(6^{-x}-5)=x+1$$
   $$6^{-x}-5=6^{x+1}$$
   $$\frac{1}{6^x}-5=6\cdot 6^x$$
   Обозначим $$t=6^x$$, тогда $$t>0$$ и
   $$\frac{1}{t}-5=6t$$
   $$1-5t=6t^2$$
   $$6t^2+5t-1=0$$
   $$D=5^2+4\cdot 6=49$$
   $$t_1=\frac{-5-7}{12}=-1,\quad t_2=\frac{-5+7}{12}=\frac16$$
   Так как $$t>0$$, то $$t=\frac16$$.
   $$6^x=\frac16$$
   $$x=-1$$

Ответ

1) $$\frac45$$; 2) $$2$$; 3) $$0$$; 4) $$-1$$.