Упр.6.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) log_3 (1/x)+log_3 (x^(1/3))=4/3;
2) log_5 x-log_25 x+log_625 x=3/4;
3) lg lg lg x=0.

1. $$\log_3 \frac{1}{x}+\log_3 \sqrt[3]{x}=\frac{4}{3}$$

   Область допустимых значений: $$x>0$$.

   Преобразуем логарифмы:

   $$-\log_3 x+\frac{1}{3}\log_3 x=\frac{4}{3}$$

   $$-\frac{2}{3}\log_3 x=\frac{4}{3}$$

   $$\log_3 x=-2$$

   $$x=3^{-2}=\frac{1}{9}$$

2. $$\log_5 x-\log_{25} x+\log_{625} x=\frac{3}{4}$$

   Переходим к основанию $5$:

   $$\log_{25} x=\frac{1}{2}\log_5 x,\qquad \log_{625} x=\frac{1}{4}\log_5 x$$

   Тогда

   $$\log_5 x-\frac{1}{2}\log_5 x+\frac{1}{4}\log_5 x=\frac{3}{4}$$

   $$\frac{3}{4}\log_5 x=\frac{3}{4}$$

   $$\log_5 x=1$$

   $$x=5^1=5$$

3. $$\lg \lg \lg x=0$$

   Так как $$\lg a=0$$ тогда и только тогда, когда $$a=1$$, получаем:

   $$\lg \lg x=1$$

   $$\lg x=10$$

   $$x=10^{10}$$

Ответ

1) $$\frac{1}{9}$$; 2) $$5$$; 3) $$10^{10}$$.