Упр.6.51 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 6.51. Решите уравнение log_2 (x/v(4x-3))=v(4x-3)-x.

Рассмотрим уравнение

$$\log_2 \frac{x}{\sqrt{4x-3}}=\sqrt{4x-3}-x.$$

Перенесём логарифмы в одну сторону:

$$\log_2 x-\log_2 \sqrt{4x-3}=\sqrt{4x-3}-x,$$

$$\log_2 x+x=\log_2 \sqrt{4x-3}+\sqrt{4x-3}.$$

Введём функцию

$$f(t)=\log_2 t+t.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$f(x)=f(\sqrt{4x-3}).$$

Функция $$f(t)$$ возрастает при $$t>0$$, значит, равенство возможно только при

$$x=\sqrt{4x-3}.$$

Решим это уравнение:

$$x^2=4x-3,$$

$$x^2-4x+3=0,$$

$$D=16-12=4,$$

$$x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=1,\quad x_2=3.$$

Проверим область определения:

$$x>0,\qquad 4x-3>0.$$

Оба найденных значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

$$1;\ 3$$