Упр.6.50 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 6.50. Решите систему уравнений {(vx-vy=log_3 (y/x), 2^(x+2)+8^x=5·4^y).

Из первого уравнения получаем:

$$\sqrt{x}-\sqrt{y}=\log_3\frac{y}{x}=\log_3 y-\log_3 x.$$

Перенесём слагаемые:

$$\sqrt{x}+\log_3 x=\sqrt{y}+\log_3 y.$$

Рассмотрим функцию

$$f(t)=\sqrt{t}+\log_3 t,\quad t>0.$$

Она возрастает на своей области определения, значит из равенства $$f(x)=f(y)$$ следует

$$x=y.$$

Подставим это во второе уравнение системы:

$$2^{x+2}+8^x=5\cdot 4^x.$$

Преобразуем степени к основанию $2$:

$$4\cdot 2^x+2^{3x}=5\cdot 2^{2x}.$$

Обозначим $$2^x=t,\quad t>0.$$ Тогда

$$4t+t^3=5t^2,$$

$$t^3-5t^2+4t=0,$$

$$t(t^2-5t+4)=0.$$

Так как $$t>0,$$ то

$$t^2-5t+4=0,$$

$$ (t-1)(t-4)=0.$$

Следовательно,

$$t=1 \quad \text{или} \quad t=4.$$

Тогда

$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$

$$2^x=4 \Rightarrow x=2.$$

Так как $$x=y,$$ получаем пары решений:

$$ (0,0),\ (2,2). $$

Проверим область определения: $$x>0,\ y>0.$$ Поэтому пара $$ (0,0) $$ не подходит.

Ответ

$$(2;\,2).$$