Упр.6.49 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 6.49. Решите уравнение 2^(-|x-2|)log_2 (4x-x^2-2)=1.

Рассмотрим уравнение

$$2^{-|x-2|}\log_2(4x-x^2-2)=1.$$

Обозначим

$$a=2^{-|x-2|}, \qquad b=\log_2(4x-x^2-2).$$

Тогда уравнение принимает вид $$ab=1.$$

Так как $$-|x-2|\le 0,$$ то

$$0<a\le 1.$$

Следовательно, должно быть $$b\ge 1,$$ потому что при $$ab=1$$ и $$0<a\le 1$$ имеем $$b=\frac1a\ge 1.$$

Рассмотрим функцию

$$g(x)=4x-x^2-2.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз. Её вершина имеет абсциссу

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2,$$

и

$$g(2)=4\cdot 2-2^2-2=8-4-2=2.$$

Значит,

$$4x-x^2-2\le 2,$$

а потому

$$\log_2(4x-x^2-2)\le \log_2 2=1.$$

Но для выполнения равенства $$ab=1$$ при $$0<a\le 1$$ и $$b\ge 1$$ нужно, чтобы одновременно

$$a=1 \quad \text{и} \quad b=1.$$

Тогда

$$2^{-|x-2|}=1 \Rightarrow |x-2|=0 \Rightarrow x=2.$$

Проверим:

$$4\cdot 2-2^2-2=2,$$

$$2^{-|2-2|}\log_2 2=2^0\cdot 1=1.$$

Решение подходит.

Ответ

$$2$$