Упр.6.47 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) log_x sin(пx/2)=0; 2) log_(sin(3x)) (cos(x)-cos(2x))=1.

1. $$\log_x \sin\frac{\pi x}{2}=0$$

   По свойству логарифма:

   $$\sin\frac{\pi x}{2}=1.$$

   Тогда

   $$\frac{\pi x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
   $$x=1+4n,$$
   где $$n\in\mathbb{Z}.$$

   Проверим область определения:

   $$x>0,\quad x\ne 1.$$

   Из найденных значений подходят только

   $$x=1+4n,\quad n\in\mathbb{N}.$$

2. $$\log_{\sin 3x}(\cos x-\cos 2x)=1$$

   По свойству логарифма:

   $$\cos x-\cos 2x=\sin 3x.$$

   Преобразуем разность косинусов:

   $$-2\sin\frac{3x}{2}\sin\left(-\frac{x}{2}\right)=\sin 3x,$$
   $$2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}=\sin 3x.$$

   Используем формулу

   $$\sin 3x=2\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{3x}{2}.$$

   Тогда

   $$2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}=2\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{3x}{2},$$
   $$2\sin\frac{3x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{3x}{2}\right)=0.$$

   Отсюда:

   $$\sin\frac{3x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin\frac{x}{2}=\cos\frac{3x}{2}.$$

   1) $$\sin\frac{3x}{2}=0 \Rightarrow \frac{3x}{2}=\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{3}.$$

   2) $$\sin\frac{x}{2}=\cos\frac{3x}{2}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3x}{2}\right).$$

   Тогда

   $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{3x}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{x}{2}=\pi-\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3x}{2}\right)+2\pi n,$$

   откуда получаем

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

   Проверка области определения даёт:

   $$\sin 3x>0,\quad \sin 3x\ne 1,$$

   поэтому подходят значения

   $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=1+4n,\ n\in\mathbb{N};$$ 2) $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$